Introduction

금융공학(financial engineering)

 : finance¹⁾ + engineering   

금융공학에 사용되는 학문 분야는? 

 통계학과 수학: (학문적 접근) -->과학의 일종이지만  ->  (현실문제해결에 초점)

->  공학

금융은 대부분 파생상품과 관련된 것들이다.

파생하다: derive        파생수요(derived demand)- 노동에 대한 수요

derivatives: 파생, 파생상품

파생상품 : 기초자산에서 파생된 상품

기초자산(underlying asset): 주식, 채권, 통화, 농축수산물

파생상품의 종류 : 선도(forwards), 선물(futures), 옵션(option), 스왑(swap)

파생상품의 가치(가격)는 기초자산의 가치변동으로부터 파생되어 결정된다.

Definition : 금융공학은 주로 이러한 파생상품들의 가격결정과 다양한 파생상품의 개발을 다루는 학문이다.

금융공학 공부의 목적

: 파생상품은 미래의 거래 조건을 지금 결정해야 하는 거래와 관련되어 있다.

첫째, 미래에 발생할 리스크를 최소화하거나 피하기 위해서

    Hedge, 리스크를 헤지한다.

즉 금융공학을 통해 미래의 리스크를 최소화할 수 있는 방법론과 논리적 사고(합리적 의사결정)를 배운다.

둘째, To make money

    미래에 발생할 거래에 대해 남들보다 좀 더 정확히 예측하고 결정해서 더 많은 돈을 벌 수 있다.

Sub-Prime 금융위기

2008년 9월15일 : 리만 브라더스 파산

금융공학이 만들어 낸 파생상품이 글로벌 금융위기의 주요 원인이 된 사건.

역사적 배경

: 미국 경제의 호황기(1991-2002), 저금리, 유동성이 넘침, 주택가격 폭등

 부동산 투기와 투자의 활황

은행과 모기지회사가 이러한 심리를 이용해 모기지대출(주택담보대출)판매를 늘림.

대출해 주고 나면 현금이 부족하니 현금을 다시 만들기 위해서 이미 판매한 모기지 대출을 유동화하는 아이디어가 나옴.²⁾

즉 모기지 대출을 증권화해 판매한 후 현금을 확보하고, 그 현금으로 다시 모기지 대출을 판매한다. 이러한 증권을 모기지 유동화 증권(RMBS, Residential Mortgage Backed Securites)또는 주택담보대출 유동화 증권이라 한다.

RMBS를 매입한 은행과 투자은행은 금융공학을 활용해 파생상품을 만들어낸다.

이 파생상품은 RMBS를 기초자산으로 한 CDO(Collateralized Debt Obligation), 즉 부채담보부증권이다.³⁾

은행과 투자은행은 이 CDO를 팔아서 현금화 한 후 다시 다른 CDO를 매입하고 이를 또 다시 유동화해 CDO를 발생한 후 현금 확보, 그리고 또 CDO를 매입하는 행위를 반복한다.

* 저금리인 상황에서 고금리의 CDO는 수익률이 높기 때문에 이런 행위를 반복한다.

AIG(보험회사)는 이 과정에서 CDS(Credit Default Swap)라는 보험을 판매한다.

"보험까지 들어 있는 안전한 고수익 파생금융상품“

CDO가 쓰레기가 되더라도 투자금액을 회수할 수 있는 보험상품--> CDS

CDO + CDS==> Set

CDO가 쓰레기가 되면(대출자가 대출금을 갚지 못하면) 보험회사인 AIG에서 발행한 CDS는 투자자의 CDO투자금액을 대신 지불해주기 때문에 은행과 투자은행은 CDO를 구입하면서 CDS도 함께 구입하게 된다.

 ========> 합성 CDO(Synthetic CDO)

원금을 갚아야 하는 시점인 2007년(예, 3년거치 10년만기, 5년거치 20년만기, 30년만기)

주택가격은 하락세를 면치 못했다.

주택시장의 침체, 주택거래 감소, 모기지대출에 대한 연체 발생.

미국의 모기지대출에 대한 신용등급의 종류

Prime, Alt-A, Subprime

서브프라임 모기지 대출의 연체율 급등 -> 서브프라임 모기지 대출을 기초자산으로 한 RMBS와 CDO가 쓰레기가 되기 시작함.

CDS는? ->AIG도 결국 항복

“ 모기지 회사, 은행, 투자은행, 보험회사 등은 파산하거나 정부의 공적자금을 받게 됨

-->글로벌 금융위기

이 외에 LTCM(Long Term Capital Management)파산

 : 1994년 존 메리워더가 설립한 헤지펀드, 1998년 9월 파산

무위험 차익거래 : 시장에서 형성되는 가격의 불일치를 찾아내어 저평가된 자산을 매수하고 고평가된 자산을 매도하는 전략(수익율이 아주 낮다.)

그래서 고수익을 위해 높은 수준의 레버리지(leverage)⁴⁾를 추구하게 된다.

1998년초 50억 달러의 자본금에 1,250억 달러의 부채를 이용해서 거래함.

레버리지 효과가 25:1

문제는 유동성이었다.

유동성 위험은 거래량의 급변으로 인해 시장에서 사자 또는 팔자 세력이 부족해 수요 또는 공급부족현상을 일으키는 위험을 말한다. 유동성 위험이 존재할 경우 아무리 이론적으로 정확한 가격이 제시되더라도 수요공급의 법칙이 허물어진 상태이므로 시장이 제 기능을 할 수 없게 된다.

베어링 은행 파산(파생상품의 문제라기보다는 조직관리 차원의 문제로 평가됨)

1995년 2월26일

28살의 니콜라스 리슨(트레이더)이 파생상품 거래로 총 13억 달러의 손실을 회사에 안김(베어링 은행 전체 자본금 9억달러가 순식간에 잠식)

- 트레이딩과 백오피스 업무를 동시에 맡게 됨으로써 그를 통제할 사람이 없었음.

1995년 3월 네덜란드 ING은행에 1파운드에 팔림.

블랙먼데이와 파생상품

1987년 10월19일 월요일, 홍콩->유럽->미국

야기시킨 주범은 시장 심리, 유동성, 무위험 차익거래, 포트폴리오 보험

주가지수와 주가지수 선물 간의 가격불일치가 발생하면 즉시 프로그램 매매를 성사시켜 이득울 취하는 무위험 차익거래 실시됨.

1976년부터 뉴욕증권거래소에서는 DOT(Designated Order Turnaround)시스템을 통해 대용량의 매도/매수 주문을 컴퓨터를 통해 처리하고 있다.

선물시장은 시장분위기에 따라 팔자주문 폭주하고 주식시장은 개장후 1시간동안 전문 트레이더들이 거래를 개시하지 않고 있었다.

따라서 얼른 주식을 팔고 하락한 선물을 사게 된다. 그런데 막상 뚜껑을 열고 보니 주식을 너무 싼 값에 팔아 치운 것을 깨닫고 되사는 노력을 하게 된다.

그래도 여전히 싼(선물시장보다) 주식가격 때문에 포트폴리오 보험⁵⁾ 트레이더들이 매도 주문을 내기 시작하면서 이미 주가가 급락한 상황에서 몇몇 전문 트레이더 외에는 아무도 매수하려 들지 않았기 때문에 주식과 인덱스 선물로 포트폴리오 보험을 구성한 트레이더들은 주식과 인덱스 선물을 팔고 싶어도  팔 수 없는 상황에 직면하게 되었다.

결국 포트폴리오 보험 거래가 주가 폭락 상황에서 제대로 작용하지 않음으로써 시장상황을 악화시켰음은 물론, 트레이더들이 막대한 손실을 입게 되었다.

블랙숄즈⁶⁾ 방정식(1973년)

 방정식의 가정:

1. 주가와 같은 기초자산의 움직임을 예측하는 평균과 표준편차가 분석기간동안 변하지 않는다.

2. 거래비용이 없다.

3. 언제든지 사고 팔수 있다.

유진파마의 효율적 시장 가설

- 주식시장을 둘러싼 모든 정보는 곧바로 노출되며 투자자들은 이를 다 고려해서 움직이기 때문에 시장의 모든 정보는 즉각 가격에 반영된다. 효율적 시장에서는 단기적으로 주가를 예측하는 것이 불가능하며, 어느 경우에서나 시장 평균이상의 수익을 내는 것도 불가능하다.

- 이러한 전제하에 자산운용에 필요한 지수를 개발하고 종목별 비중에 따라 여러곳에 분산 투자함으로써 시장의 평균수익을 실현하는 것을 목표로 하는 인덱스펀드(index fund)도 파마의 이론을 논리적 기초로 한다.

로버트 쉴러- 행동경제학의 대가

사람들이 시장의 수급을 감안해 합리적으로 행동하며 이에 따라 시장이 균형을 찾아간다.

인간의 비이성적 심리가 경제에 미치는 영향- “야성적 충동”

제1강 금융공학의 기초개념

- 평균, 분산, 표준편차, 베르누이 시행, 이항분포, 정규분포, 브라운 운동

분산 - 예) 학생들의 점수가 평균점수로부터 어느정도 흩어져 있는가를 나타내주는 지표

  각 학생들의 점수와 평균점수의 차를 제곱해 모두 더한 값을 평균한 값.

표준편차- 분산의 제곱근

  분산이 8이면 표준편차는 (또는 )

베루누이 시행- 결과값이 딱 두가지만 존재한다.

 예) 동전던지기: 각 결과값이 나올 확률이 1/2이다.

이항분포 - 두 개의 항

   이것 아니면 저것인 분포

즉 ‘이것 아니면 저것’(앞면 아니면 뒷면)은 베루누이 시해오가 같다. 즉 베루누이 시행을 여러번 시행해서 나타난 분포가 바로 ‘이항분포’다.

이항분포를 따르는 확률변수의 시행횟수를 무한정 반복하면(즉 베르누이 시행을 무한정 반복하면)바로 정규분포가 된다.

브라운 운동: 원래 물리학에서 나온 개념이다. 물리학에서는 작은 입자의 불규칙한 운동을 브라운 운동이라 한다. 금융공학에서의 브라운 운동은 정규분포와 관련이 있다. 시간의 개념이 포함된 정규분포를 브라운 운동이라고 한다.

주식가격을 예로 들면, 주식가격은 시간의 흐름에 따라 변하는데 특정한 두 시점 간의 주식가격 차이는 정규분포를 따른다는 것이다. 이럴 경우, 시간 간격이 짧을수록 주식가격변화는 작아지고 시간 간격이 크면 클수록 주식가격의 변화도 커진다는 것이 브라운 운동의 핵심이다.

선도(Forwards)

선도란 미래의 특정 시점에 특정 가격으로 특정상품을 서로 매매하기로 현재 시점에 약속하는 계약이다.

예) 밭떼기: 배추 도매상이 배추수확 3개월 전에 농부가 재배하고 있는 배추밭의 모든 배추를 포기당 5,000원에 사기로 미리 계약했다면 이것이 바로 선도거래다.

  대지주와 소농간의 거래- 보릿고개를 넘기 위해.

 미리 헐값에 팔고 현금을 받아 생계를 이어간다. 추수철이 되면 대지주는 헐값에 구입한 농작물을 소농들에게 비싸게 되판다.

본래 선도거래를 포함한 파생상품거래의 주요 목적은 리스크 헤지(위험회피)인데, 선도거래의 목적이 ‘돈 벌기’가 되면서 엄청난 사회적 부작용을 초래하게 됨.

선물(Futures)

약속한 조건(품목, 가격, 수량 등)에 따라 미래에 줄 선물을 미리 결정했다면, 선물이 될 수 도 있을 것이다. 선물거래는 선도거래와 똑 같은 구조를 가지고 있다. 단지 차이는 선물거래가 선도거래보다 ‘표준화’되어 있다.

선물과 선도의 차이 네 가지

1. 선물은 거래되는 시장이 정해져 있다. 즉 거래소 시장에서 거래된다.

 선도거래는 장외시장에서 양 당사자 간에 이루어지지만, 선물거래는 거래소시장에서 다자 간에 거래된다.

2. 선물은 계약단위와 계약만기가 정해져 있다. 즉 표준화되어 있다. 우리나라 주식 선물시장의 경우, 계약단위는 50만원, 계약만기는 매 분기말(3,6,9,12월)의 두 번째 목요일이다. 하지만 선도는 계약단위와 계약만기를 당사자 간 자유롭게 정할 수 있다.

3. 선물은 매일 매일 정산해야 한다. 따라서 선물거래는 계약 불이행 위험이 없으나, 만기에 한 번 정산하는 선도거래는 계약 불이행 위험이 존재한다.

4. 선물거래는 표준화되어 있어 당사자들의 모든 니즈에 부합된 거래를 제공할 수 없다. 반면 선도거래는 어떠한 기초자산에 대해서도 당사자들이 원하는 맞춤형 거래가 가능하다.

옵션(Option)

옵션의 사전적 의미는 ‘선택할 수 있는 것’ 또는 ‘선택할 수 있는 권리’다. 금융공학에서의 옵션은 후자인 ‘선택할 수 있는 권리’에 가깝다. 권리이기 때문에 어떤 옵션거래 계약을 하고 만기가 되었을 때, 계약대로 해도 되고 안 해도 되는 것이다. 옵션을 구매한 사람의 자유다. 즉 권리다. 권리를 행사해도 되고, 행사하지 않아도 되는 것이다. 따라서 선택을 하지 않아도 아무런 불이익이 없다.

콜옵션- ‘살 수 있는 권리’

풋옵션- ‘팔 수 있는 권리’

만약 현재1주당 10만원짜리 주식을 1년후 1주당 11만원에 100주 살 수 있는 콜옵션을 매수했다고 가정해보자(주가가 오르고 있는 상황에서).

1년 후 주가가 12만원이 되면, 콜 옵션 매도자로부터 11만원에 100주를 산후(콜옵션 행사), 바로 시장에 12만원에 매각해 100만원(12만원-11만원)×100주)의 수익을 올릴 수 있다. (엄밀히 말하면 100만원에서 옵션가격을 뺀 금액)

반면 주가가 하락해 9만원이 되면 콜옵션을 행사하지 않으면 된다. 이 경우 콜옵션 매수자는 이미 지불한 옵션가격만큼의 손실만 부담하면 된다.

옵션가격의 계산

- 블랙숄즈 모델(블랙숄즈방정식, 블랙숄즈 이론)

- 콜옵션, 풋옵션 등의 옵션 가격을 계산하기 위해 만들어진 모델

- 블랙숄즈 모델로 계산된 옵션의 가격을 공정가격(fair price 또는 이론가격)이라 한다.⁷⁾

블랙숄즈 모델의 핵심 두가지

첫째, 옵션계약의 만기일이 가까워질수록 시장의 불확실성이 줄어들기 때문에, 시간의 흐름에 따라 옵션가격은 낮아진다.

둘째, 기초자산 가격의 변화에 따라 옵션가격도 변한다.

등가격, 내가격, 외가격

등가격(at the money): 옵션의 행사가격이 기초자산의 가격과 같을 때 사용.

내가격(in the money): 콜옵션의 경우, 기초자산의 가격이 옵션의 행사가격보다 높을 때.

외가격(out of the money): 기초자산의 가격이 옵션의 행사가격보다 낮을 때.

SWAP(스왑)

무언가를 교환하는 거래계약

스왑을 하는 이유 : 다른 파생상품과 마찬가지로 미래의 불확실성과 리스크를 최소화기 위해.

일반적인 교환과 다른 점 : 잠시 교환한다는 것.

ex) 철수의 수학참고서와 영희의 영어참고서를 서로 교환하고 1개월 후 다시 되돌려주기로 하는 계약

스왑거래: 교환행위를 통해 모든 스왑 계약 당사자들이 리스크는 감소하고 편익은 커져야 한다.

금융시장에서 스왑거래의 기초자산은 주로 통화(currency)와 이자율(interest rat)이다.

ex) 통화 스왑, 금리 스왑

2008년 우리나라가 미국, 일본, 중국과 통화스왑을 체결

미국과의 스왑- 금융위기 등 필요시에 300억 달러 한도내에서 한국의 원화와 미국의 달러를 교환하는 조건

통화스왑의 일반적 거래방식

거래 당사자 쌍방이 원금을 교환하고 거래기간동안 이자만 교환하다가 거래종료와 함께 원금의 재교환이 이루어진다.

국내기업과 그 기업의 미국법인이 미국 달러화에 대한 통화스왑 거래의 예

: 계약규모 100만 달러, 계약기간 3년, 환율은 달러당 1000원, 이자율은 달러화가 2% 원화가 4%라고 가정하자.

거래개시와 함께 양자는 달러화와 원화를 교한한다.

즉 국내기업은 미국법인에 10억원(100만달러 ×1000원)을 주고

   미국법인은  국내기업에 100만달러를 준다.

각 통화에 대한 이자로 상호간 매년 4,000만원(10억원×4%)

                                   2만달러(100만달러×2%)를 교환한다.

3년 후 원금과 함께 마지막 해 이자를 교환한다.

 : 국내기업은 미국법인에 102만달러를 주고

   미국법인은 국내기업에게 10억 4,000만원을 받는다.

이자율스왑 

이자율을 교환하는 거래, 즉 변동금리와 고정금리를 서로 맞바꾸는 것.  단 통일한 통화에서만, 교환의 대상이 되는 이자율은 주로 장기고정금리와 단기변동금리이다.

ex) A은행이 개인고개들에게 코픽스 변동금리로 담보대출을 판매했는데, 이자율 리스크 때문에 고정금리로 바꾸고자 한다고 가정하자. 담보대출을 받는 고객들에게 고정금리대출로 전환하라고 강제할 수 없다.

이런 상황에서 B라는 은행이 단기자금 운용을 위해 변동금리를 선호한다고 한다면, A은행과 B은행은 이자율스왑을 통해 서로의 편익을 증대시킬 수 있다.

참고 1

CDS(Credit Default Swap, 신용부도스왑)는 CDS는 스왑이 아니라 보험이다. 미국에서는 보험에 대한 규제가 강하기 때문에 일부러 스왑이라는 말을 붙여 규제를 피해가고자 만든 금융상품이 CDS이다. 채권을 발행한 기업이 지불불능(default)이 되면, 해당 채권은 휴지조각이 되고 만다. 그런데 투자자가 채권을 매입하면서 동시에 보험회사로부터 CDS도 함께 사서 채권에 붙이면 채권을 발행한 기업이 지불불능이 되더라도 CDS를 판 보험회사에서 대신 지불해 준다. 투자자는 CDS보험료 지불을 통해 채권의 지불불능 리스크를 헤지하는 것이다. 이때 투자자가 지불하는 CDS보험료를 CDS프리미엄이라고 한다. 채권의 신용등급이 낮을수록 CDS프리미엄은 증가한다. 위험한 채권이니까 CDS보험료가 올라가는 것이다.

스왑과 혼동되는 또 하나의 용어는 캐리 트레이드(Carry Trade)다. 캐리 트레이드는 특히 통화스왑과 헷갈리기 쉽다. 통화스왑은 통화가 잠시 교환되는 것이다. 반면 캐리 트레이드는 통화의 교환이 아니라 ‘환전 투자’에 가깝다. 캐리 트레이드는 이자율이 낮은 선진국 통화를 이자율이 높은 신흥국 통화로 환전해 신흥국에 투자함으로써 통화 간 이자차익과 투자수익을 동시에 취하는 거래이기 때문이다.

ex) 미국달러의 이자율이 연 2%, 태국 바트화의 이자율이 연 10%라고 가정하자.

글로벌 투자자들은 달러를 조달해 바트화로 환전한 후 태국의 금융기관에 넣어두거나 태국 기업에 투자한다. 투자자들이 원하는 수준의 수익을 실현했거나 바트화 가치가 하락(달러 가치 상승)할 것으로 예상될 경우, 바트화를 팔고 달러를 매입함으로써 수익을 실현하게 된다. 이러한 과정을 달러 캐리 청산이라고 한다. 참고로 캐리 트레이드 청산이 한꺼번에 일어나면, 즉 모든 투자자들이 신흥국 통화를 팔고 선진국 통화를 매입하게 되면, 신흥국의 통화가치가 급락하게 되기 때문에 신흥국의 외환위기를 초래할 수도 있다.

참고: COFIX

주택담보대출시 주된 금리로 사용되는 것은 대개 CD(양도성 예금증서)금리이다. 그러나 실제로 은행이 자금을 조달하는 곳은 CD보다는 원화예금, 금융채 등 다른 곳에서 자금을 조달하여 빌려주는 것이 일반적이다. 이러다 보니 CD금리와 시장금리는 당연히 차이가 나게 되고, CD금리가 은행의 자금조달비용을 제대로 반영하지 못하는 문제가 생기게 되었다. 전국은행연합회는 은행권의 자금조달비용을 제대로 반영할 수 있는 새로운 대출 기준금리인 코픽스(COFIX)를 도입하게 되었다.

COFIX(Cost of Funds Index)는 국내 9개 은행의 정보를 취합하여, 잔액기준 코픽스와 신규취급액기준 코픽스로 구분하여, 전국은행연합회에서 매월 15일에 공시합니다.(공휴일인 경우 익영업일)

잔액기준 코픽스 : 월말 자금조달 잔액을 기준으로 지수를 산출, 시장 금리에 비해 변동폭이 작고 시장 금리 변동이 서서히 반영

신규취급액 코픽스 : 월중 신규로 조달한 자금을 대상으로 산출, 잔액 기준 코픽스에 비해 시장금리 변동이 신속히 반영

*국내 9개 은행 및 산출 대상 상품

 농협, 신한은행, 우리은행, SC제일은행, 하나은행, 중소기업은행, 국민은행, 한국외한은행, 한국씨티은행의 정기예금, 정기적금, 상호부금, 주택부금, CD, 환매조건부채권매도, 표지어음매출, 금융채 등

잔액기준 코픽스의 경우 기존 대출금리에 비해 변동성이 적으므로, 대출이자율 변동 위험을 줄일 수 있습니다. 다시 말하자면, 금리 상승기에는 코픽스 금리가 시장금리보다 금리상승 속도가 느리고 완만하므로 시장 금리보다 고객에게 유리하다. 평균 CD금리는 3개월마다 금리 조정을 받는반면,

잔액기준 코픽스 변동 금리는 12개월마다 조정을 받습니다.(고객이 12개월 연동상품 선택하였을 경우) 또한, 현재 코픽스 연동금리는 3%대에 형성되고 있으므로, 4%이상 또는 5%대로 대출을 받으신 분들은 코픽스 변동금리로 갈아타는게 매우 유리하다. 하지만, 반대의 경우 금리하강기에는 시장금리의 하락속도가 코픽스 보다 빠를것으로 예상되며, 이때는 코픽스 연동대출이 불리 할 것으로 예상된다. 이때는, 잔액기준 코픽스보다 신규취급액 코픽스가 유리하다. 즉 시장 변동 상황에 대하여 잔액기준 코픽스보다 신규취급액 기준 코픽스가 더 빨리 시장 상황을 반영하기 때문이다.

제2강 선물과 옵션

임란 후 시작된 일본의 에도시대, 사무라이라는 엘리트 계층이 장악, 당시만 해도 이들은 주화대신 직접 쌀을 봉급으로 받고 있었다.

임진왜란 후의 일본

오사카 지역을 중심으로 한 쌀 중개상들은 사무라이들이 봉급으로 받았던 쌀을 동전을 이용해 거래하도록 했다. 나아가서 지폐를 만들어 내어 중개상들이 일본시장경제의 주도권을 장악해 나간다.

1697년, 오사카에 도지마 쌀 교환소가 설립됨으로써, 세계 최초로 근대적 개념의 선물 및 옵션거래를 시작했다.⁸⁾ 

선물거래란 미래 특정 시점의 자산을 지금 사고 파는 행위

옵션은 미래 특정 시점에 옵션 구매자가 필요하다고 생각할 때 자산을 사거나 팔 수 있는 권리를 의미한다.

선물거래와 옵션거래의 차이점

선물은 미래 특정시점에 자산을 사고 팔아야 하는 계약(의무)인 반면

옵션은 옵션 구매자가 필요하다고 생각하지 않으면 거래하지 않아도 되는 계약(선택)이라는 것이다.

일본의 상인들은 가뭄이나 흉년이 들어서 폭락이나 폭등할 수 있는 미래 상황에 미리 합리적인 가격을 정해서 미래 특정시점에 거래하는 선물거래와 함께, 그런 선물거래를 할 수도 있고 안 할 수도 있는 옵션거래를 시작했던 것이다.

선도거래

선도(forwards)란 미래의 특정한 시간, 특정한 가격에 물건을 서로 매매하겠다고 약속하는 계약을 의미한다. 만약 1697년 일본 도지마 쌀 거래소에서 두 명의 상인이 1년 후인 1698년 가을에 쌀과 약속한 대금을 교환하기로 계약했다면 이 두 상인은 서로 선도거래를 한 셈이 된다.

선도거래는 장외시장에서 주로 기관과 고객사이에 거래되는 계약으로서 주로 기업체들이 외환리스크를 관리할 때 이용한다. 예를 들어, 어떤 국내회사가 100만달러의 상품을 수출하고 대금을 3개월 후에 달러화로 받아야 하며, 그 돈으로 3개월 후에 은행대출금 10억원을 갚아야 한다고 가정하자. 현재 원/달러 환율이 1,000원이라 할 때, 이 회사는 현재 환율대로라면 10억원(100만×1000원)을 수입업체로부터 받아 은행 대출금을 상환할 수 있을 것이다. 하지만 환율이 현재 상태 그대로 3개월 후까지 지속될지는 아무도 모른다.

만일 원/달러 환율이 900원으로 하락하면 상품대금으로는 10억원 대신 9억원(100만×900원)밖에 받지 못하게 된다. 즉 이 회사는 상품을 팔아놓고 대출금도 못 갚는 신세가 되어버릴 수 있다. 이럴 때 이 회사는 선도거래를 주관하는 금융기관과 외환 선도거래를 맺음으로써 외환 리스크를 헤지할 수 있게 되는 것이다. 3개월 후에 받을 100만 달러를 현재 환율 기준인 1,000원에 매도하기로 계약한다면, 환율 변동에 관계없이 안정적으로 10억 원의 상품 대금을 받을 수 있기 때문이다.

물론 역으로 선도거래를 하지 않고 가만히 둔 상태에서 원화가치가 1,100원으로 하락하면 선도거래를 하지 않는 것보다 이익을 볼 수도 있다. 그럼에도 불구하고 선도거래를 하는 것은 환차익으로 돈을 버는 것이 목적이 아니라, 외환 리스크를 헤지해 회사가 비즈니스를 안정적으로 영위하는 것이 일차적인 목적이기 때문이다.

선도거래 가치의 계산

선도계약은 미래의 불확실한 상황에 따라 그 손익이 달라지더라도 계약 당시에는 어떤 당사자에게도 이익이나 손실을 줘서는 안될 것이다. 즉 어떤 당사자도 무위험 차익을 생길 수 있어서는 안되게 가격이 정해져야 한다.⁹⁾ 

무위험차익거래(arbitrage)란 미래의 가격이 현재의 자산을 은행에 예금해두고 얻을 수 있는 시장의 이자율보다 높거나 낮게 형성되는 것을 이용해 이익을 실현하는 거래다.

만일 시장의 이자율보다 높거나 낮게 미래의 가격이 형성된다면 아무런 위험도 없이 은행의 이자율과 선도가격간의 차이를 이용해서 누군가 차익을 챙길 수 있게 된다. 이런 상황은 수많은 시장참여자들에 의해 항상 주시되고 있기 때문에 발생하지 않을 것으로 가정하는 것이다.

선물거래

선물거래도 선도거래와 마찬가지로 미래의 특정 시점에서 자산을 사고 파는 거래이지만, 다음과 같이 세 가지 측면에서 선도거래와 구별된다.

1)선물은 거래소 시장에서 거래된다.

선도거래는 장외시장에서 당사자 간에 거래가 이루어지는 반면, 선물거래는 거래소시장에서 다자 간에 거래가 된다. 우리가 선물시장이라는 말에는 익숙하지만, 선도시장이란 말에는 생소한 이유가 여기에 있다.

2) 선물은 표준화된 계약단위와 만기가 있다.

우리나라 주식 선물시장의 경우 1계약의 크기는 50만원 이고, 만기일은 3월, 6월, 9월, 12월의 두 번째 목요일이다. 반면 선도계약은 계약 당사자들간의 필요에 따라 만기일을 자유자재로 조정할 수 있다.

3) 선물은 매일 ‘일일 정산’을 해야 한다. 즉 매일 증거금을 초과하는 이익은 받고, 손실은 지불해야 한다.

선물거래는 선도거래와는 달리 유동성이 풍부하고, 매일 손실 또는 이익만큼을 정산하므로 채무 위험이 없으며, 거래비용이 대체로 낮다는 장점이 있다.

반면 선도거래는 표준화된 선물거래와 달리, 어떠한 자산에 대해서도 계약을 취할 수 있고 고객의 고유한 니즈에 부합된 상품을 제공할 수 있다는 측면에서 장점을 가진다고 할 수 있다.

또한 선도거래는 만기가 도래할 때까지 손익이 실현되지 않는 단순한 계약 관계인데 반해, 선물거래는 날마다 손익을 실현해야 하기 때문에, 매일매일 재투자가 가능하고, 손실분에 대해서는 대출을 받아야 하는 상태가 발생하기도 한다. 따라서 언뜻 보기에는 선물가격이 선도가격과 서로 달라야 할 것처럼 보인다. 하지만 이자율이 만기까지 일정하다는 가정하에서 선물가격은 선도가격과 같다는 사실을 1981년에 콕스(Cox), 잉거솔(Ingersoll), 로스(Ross)가 밝혀냈다.

옵션거래

옵션이란 무엇인가를 선택할 수 있는 권리를 말하며, 선택을 하지 않아도 아무런 제재 조치가 없는 ‘권리가 주어진 파생상품’을 의미한다. 앞에서 살펴본 선물은 쌍방이 계약을 체결하면 반드시 만기일에 그 계약을 이행해야 할 의무가 있지만, 옵션은 계약을 이행하거나 이행하지 않을 수 있는 옵션, 즉 선택권이 있다.

옵션에는 두 가지 종류가 있다. 살 수 있는 권리를 나타내는 옵션을 콜옵션(call option)이라 하고, 팔 수 있는 권리를 말하는 옵션을 풋 옵션(put option)이라 부른다.

옵션을 거래하는 이유

옵션을 거래하는 이유는 크게 도박과 리스크 관리로 나눌 수 있다.

예) A회사의 주가가 현재 10만원이고 11만원에 그 주식을 살 수 있는 1개월 만기 콜옵션이 5,000원이라면, 100만원을 가진 투자자가 투자할 수 있는 방법은 다음 두 가지가 있다. 단, 거래비용 및 1개월 이내에 있을지도 모르는 배당은 무시하기로 한다.

첫째, 주식10주를 산다. 한 달 후 주가가 15만원이 되면 투자자는 50%의 수익을 얻게 된다. 반면 한 달 후 주가가 5만원으로 떨어지면 50%손실을 입게 된다.

둘째, 콜옵션 200개를 산다. (200개×5,000원=100만원, 문제를 단순화하기 위해 옵션1계약 사이즈를 주식1개로 가정) 한 달 후 주가가 15만 원으로 오르면, 1주당 4만원의 차익이 생기므로 800만원의 이득이 생긴다. 즉 수익률은  가 된다. 반면 주가가 10만 9,000원이 되면, 주가가 행사가격 11만원 이하이므로 옵션은 휴지조각으로 변해버린다. 수익률은 -100%!!!

즉 옵션은 적은 자본으로 고수익을 창출할 수 있는 반면, 그만큼 리스크도 커지는 레버리지 효과를 갖는다.

하지만 옵션은 아주 기초적인 관리만 해줘도 안정적인 수익을 창출하는 효자가 될 수 있다. 만일 한 투자자가 어떤 회사의 주식을 갖고 있다고 할 때, 이 투자자는 콜옵션을 매도함으로써 다른 주식투자자들보다 훨씬 안전하게 주식 투자를 할 수 있게 된다. 콜옵션을 매도했기 때문에 주가가 오르면 오른 만큼 대금을 지불해줘야 하지만, 이미 주식을 갖고 있으므로, 보유한 주식을 처분해 대금을 지불하면 되고, 주가가 하락하면 옵션은 무효가 되므로 옵션 매도금은 고스란히 자기 몫이 된다. 이렇게 주식을 보유하고 콜옵션을 매도하는 전략을 커버드 콜(Covered Call)이라고 하며, 이 전략은 전 세계 옵션거래 중 거의 절반을 차지하는 것으로 알려져 있다.¹⁰⁾

옵션가격에 영향을 미치는 변수들

기초자산, 행사가격, 무위험이자율, 기초자산의 변동성, 만기까지 기간, 배당 등이 있다.

1) 기초자산과 행사가격

기초자산이란 옵션거래의 기본이 되는 자산을 의미한다.

예)1. KOSPI주가지수에 따라 옵션가격이 변동되는 거래를 한다면, KOSPI가 기초자산이 된다.

   2. 인도에서 면화를 수입하는 업체가 강수량에 따라 면화가격이 변동할 것으로 보고 강수량에           따른 옵션거래를 만든다면 강수량이 기초자산이 된다.

행사가격이란 옵션거래가 일어나는 가격을 의미한다.

A라는 회사의 주식을 11만원에 살 수 있는 옵션거래에서는 11만원이 행사가격이 된다.

이 기초자산과 행사가격의 차이를 옵션의 본질가치(Intrinsic Value)라 한다. 옵션에 투자하지 않고 은행에 예금해두면 벌 수 있는 이자만큼은 본질가치에서 빼줘야 할 것이고, 주가도 항상 변하기 때문에 주식가격의 변동성을 고려해서 옵션의 가격이 결정된다.

마지막으로 오늘 사서 내일 옵션을 행사할 수 있는 것과 1년 후에 행사할 수 있는 옵션 간에는 분명한 가격 차이가 있을 것이다. 즉 만기까지 남은 시간도 고려해줘야 한다. 각 변수들이 옵션가격에 어떻게 영향을 미치는지 살펴보자.

2)이자율

일반적으로 이자율이 상승하면 할인율이 상승해 기업들의 현금 흐름의 현재가치가 줄어들기 때문에 이자율은 주가와 반대 방향으로 움직이는 것으로 알려져 있다.

즉 이자율이 상승하면 주가는 하락하고, 이자율이 하락하면 주가는 상승하는 식이다.

그런데 옵션거래에서는 이자율과 주가가 양의 상관관계를 갖고 있다고 가정한다. 왜냐하면 이자율이 상승하더라도 ‘단기간’에 이자율 변동이 기업의 현금 흐름에 영향을 미치지 않는 반면, 투자자들은 항상 이자율보다 일정 수준 높은 주가수익률을 기대하기 때문이다. 또한 이자율 상승은 기업들의 자금수요가 증가한 것으로 볼 수 있으며, 이는 기업들의 주가가 상승하는 원인이 되기 때문이기도 하다. 따라서 옵션에서는 이자율이 상승하면 주가가 상승해 콜옵션가치는 올라가고, 이자율이 하락하면 주가가 하락해 풋옵션가치가 올라가는 것으로 가정한다.

3)변동성

옵션가격을 결정짓는 가장 중요한 요소를 고르라면 단연 변동성이다. 변동성이란 통계학적으로는 표준편차를 의미한다. 즉 주가와 같은 기초자산의 가격이 오르거나 내리는 정도를 나타내는 척도다. 옵션은 콜옵션이든 풋옵션이든 주가가 급등락하면 가치가 올라간다. 변동성이 증가할수록 옵션을 행사할 가능성이 높아지기 때문이다.

만일 주가가 1,800수준에서 갑자기 2,000수준으로 급등하면 투자가들은 주가가 상당히 불안정하다고 느끼게 되고, 위로든 아래로든 주가 움직임에 대해 보험을 드는 성격인 콜옵션과 풋옵션의 가격은 모두 상승하게 되는 것이다.

변동성이 옵션가격을 결정하는 데 가장 중요한 요소이기 때문에, 전문가들은 옵션을 분석하고 거래할 때 내재변동성을 반드시 체크한다. 내재변동성(implied volatility)이란 옵션가격이 주어졌을 때 그 속에 내포되어 있는 변동성을 의미한다.

4) 배당

일반적으로 배당을 하면 주가는 배당만큼 하락하게 된다. 주가란 기업의 총 가치를 주식수로 나눈 것인데, 배당을 지급한다는 것은 기업의 가치 중 일부가 외부로 유출되는 것이기 때문이다. 따라서 배당이 주어지면 주가가 하락해 콜옵션의 가치는 하락하고 풋옵션의 가치는 상승하게 된다.

옵션의 본질가치

콜옵션의 본질가치(intrinsic value)는 기초자산 가격에서 행사가격을 뺀 것이다. 즉 아무런 외부 변화가 없이 현재 10만원짜리 주식을 미래 어느 시점에 9만원에 살 수 있는 콜옵션을 구매하고자 한다면, 콜옵션의 본질가치인 1만원을 주고 구매해야 할 것이다.

풋옵션은 콜옵션과 반대로 생각하면 된다. 즉 풋옵션의 본질가치는 행사가격에서 기초자산의 가격을 뺀 것이며, 현재 10만원짜리 주식을 미래 어느 시점에 11만원에 팔 수 있는 권리를 사고자 하면 역시 1만원의 풋옵션 본질가치를 지불해야 한다.

옵션의 본질가치(만기일의 옵션가치)를 그래프로 표현하면 다음과 같다.

옵션의 시간가치

옵션은 미래에 권리를 행사할 권한만 있고 의무는 없으므로, 미래의 불확실성에 대해서도 값을 지불해야만 한다. 이것을 시간가치(Time Value)라고 한다. 위의 예에서 현재 주가가 10만 원 이고, 행사가격이 9만 원일 경우 콜옵션의 본질 가치는 1만 원이라고 했다. 하지만 만기일까지 일정 시간이 남아있다면, 어느 누구도 이 옵션을 1만원에 팔지는 않을 것이다. 옵션을 매도하는 사람은 미래 불확실성에 대한 대가가 옵션가격에 포함되기를 원할 것이기 때문이다. 따라서 옵션의 가치는 위에 살펴본 본질가치 외에 시간가치가 포함되어야 한다.

                옵션가치 = 본질가치 +시간가치

만기일이 멀면 멀수록 불확실성이 커지므로, 시간가치는 커지게 된다. 반대로 만기일이 가까울수록 시간가치는 급격히 소멸하게 된다. 다음 그래프는 만기일이 다가옴에 따른 시간가치 소멸 패턴을 보여준다.

시간가치는 옵션의 행사가격이 현재의 주가 근처에 있을 때 가장 크고, 현재의 주가보다 상당히 높거나 낮을 때 가장 작게 된다.

그 이유는 미래의 주가가 어느 방향으로든 움직일 가능성이 크기 때문이다. 반면 행사가격이 현재의 주가보다 상당히 높거나 낮을 때에는 미래에도 주가가 행사가격 수준까지 하락하거나 상승할 가능성이 그리 높지 않을 것으로 보기 때문에, 시간가치가 상대적으로 낮게 된다.

6월물 첫날 5월15일 옵션 시세표

콜 175의 현재가와 지수 비교

콜 175가 실제로 가지고 있는 가치는

지수-행사가 = 177.80- 175.00= 2.80(내재가치)

콜175의 현재가 7.20에서 내재가치 2.80을 제외한 나머지는 7.20-2.80=4.40(옵션의 시간가치)

즉 옵션현재가 = 내재가치 + 시간가치

콜 117.50의 경우

177.80-177.50= 0.3(내재가치)

                                     현재가 5.60 - 0.3 = 5.3(옵션의 시간가치)

일반적인 옵션의 종류

원칙적으로 세상에 존재하는 모든 변수를 기반으로 옵션을 만들 수 있다. 날씨를 기초자산으로 정할 수도 있고, 특정 국가의 테러발생 횟수와 피해금액을 변수로 옵션을 만들 수도 있다. 문제는 그런 기초자산의 변화를 얼마나 쉽고 합리적인 기준으로 계량화할 수 있느냐에 달려 있다. 다음은 일반적인 옵션의 종류이다.

1) 유러피언(European Option) 옵션과 아메리칸(American Option) 옵션

유러피언 옵션은 만기에만 권리를 행사할 수 있는 옵션.

한국의 KOSPI200지수 옵션과 미국의 S&P 500지수 옵션은 모두 유러피언 옵션이다.

반면 아메리칸 옵션은 만기 전에는 언제라도 권리를 행사할 수 있는 옵션이다.

한국의 국채선물 옵션, S&P 100 지수옵션, 그리고 대부분의 스톡 옵션(Stock Option)이 아메리칸 옵션에 해당된다. 아메리칸 옵션은 만기 전에는 언제든지 권리를 행사할 수 있기 때문에, 옵션가격이 유러피언 옵션과 비교해 최소한 같거나 크게 된다.

2)디지털 옵션

옵션 행사 시 기초자산의 가격이 행사가격보다 높으면 일정금액을 받고, 그렇지 않으면 아무것도 못 받는 옵션이다. 유러피언 옵션과의 차이점은 이익금액이 정해져 있다는 것이다.

유러피언 콜옵션의 경우, 행사가격이 100원이고 주가가 110원이라면 권리행사 시 10원이라는 차액을 받게 되지만, 디지털 옵션(Digital Option)인 경우는 미리 받을 금액이 정해져 있으므로 주가가 행사가격보다 높기만 하면 미리 정해진 금액을 받게 되는 것이다.

만일 미리 약정한 이익금액이 10원이라면, 행사가격이 100원이고 주가가 비록 101원일지라도 이것이 행사가격보다 높으므로 10원의 이익이 발생한다(유러피언 옵션이라면 1원의 이익이 발생한다).

3)다운 앤 아웃 옵션과 업 앤 인 옵션

-국제 장외시장의 통화거래에서 자주 쓰이는 옵션

-다운 앤 아웃 옵션(Down and Out Option)은 기초자산의 가격이 일정가격 이하로 내려가면 옵션이 무용지물이 되는 옵션이다. 마찬가지로 기초자산의 가격이 일정 가격 이상이 되면 비로소 효력을 발휘하게 되는 옵션을 업 앤 인 옵션(Up and In Option)이라고 하며, 역시 국제 장외시장에서 거래된다.

4)스프레드 옵션

스프레드 옵션(Spread Option)은 옵션의 이익 패턴이 두 개의 서로 다른 기초자산의 가격 차이에 의존하는 옵션이다. 예를 들면, 제트기의 연료를 대량 구매하는 항공사가 연료가격에 대한 리스크를 헤지하는 데, 난방용 유류 선물을 이용해야 하는 경우가 있다. 이 경우에 제트기 연료가격과 난방용 유류 선물 사이의 가격 차이에 대한 옵션거래를 장외시장에서 하게 된다.

5)아시안 옵션(Asian Option)¹¹⁾

아시안 옵션은 특정 기간 동안 기초자산 가격의 평균을 기준으로 가격이 계산되는 이익 패턴을 가진 옵션이다. 즉 만기일이나 권리행사일의 주가 대신 그 이전의 주가를 평균한 값을 이용하는 옵션이라는 뜻이다.¹²⁾

6)버뮤단 옵션

버뮤단 옵션(Bermudan Option)은 옵션 만기까지의 기간 중 정해진 특정 기간에만 권리를 행사할 수 있는 옵션을 말한다.

예) 이자지급 날짜에만 권리를 행사하게끔 만들어진 채권옵션

유러피언 옵션과 아메리칸 옵션의 중간 형태(유럽과 아메리카의 중간 지역에 위치한 버뮤다섬 이름에서 따옴)

7)룩백 옵션

룩백 옵션(Look back Option)은 만기일에 그 이전의 주가 형태를 ‘뒤돌아본다(look back)’는 의미에서 붙여진 이름이다. 옵션의 이익 패턴이 특정 기간 동안의 기초자산 가격의 최대치와 최소치에 따라 달라진다.

룩백 콜옵션: 만기가치 = 만기 시 주가- 옵션기간 동안 주가의 최저가

룩백 풋옵션: 만기가치 = 옵션기간 동안 주가의 최고가 - 만기 시 주가

이 외에도 샤우트 옵션(Shout Option), 포워드 스타트 옵션(Forward Start Option), 컴파운드 옵션(Compound Option)등 이색 옵션(Exotic Option)의 수는 무한히 많이 존재한다.

기초자산에 따른 옵션의 종류

옵션의 형태에 따른 분류 외에, 옵션은 일반적으로 기초자산이 무엇인지에 따라 지수 옵션, 개별주식 옵션, 선물 옵션, 통화 옵션으로 구분된다.

1)지수 옵션

우리나라 선물 및 옵션 시장은 기초자산이 KOSPI200지수다. 즉 KOSPI200지수의 등락에 따라 옵션의 가치가 변하는 시장인데, 이러한 옵션을 지수옵션이라 한다. 미국의 경우 지수옵션을 거래하는 거래소로는 시카고옵션거래소(CBOE), 필라델피아거래소(PHLX), 아메리칸증권거래소(AMEX)등이 있다.

2)개별주식 옵션

현대자동차, 삼성전자 등 개별주식의 주가를 기초자산으로 하는 옵션거래다. 한국의 경우 일반적으로 유동성이 지수옵션보다 낮고 작전세력이 쉽게 기초자산의 주가를 조작할 수 있다는 점에서, 개인 투자자들 입장에서는 지수옵션보다 컨트롤하기가 더 어려운 옵션이다.

3)선물 옵션

2002년 7월부터 한국에서 거래되기 시작한 국체선물 옵션이 한 예로서, 기초자산이 현물 대신 선물인 옵션을 의미한다. 미국에서 가장 활발히 거래되는 선물 옵션거래로는 시카고거래소(CBOT)의 채권선물 옵션과 시카고상업거래소(CME)에서 거래되는 유로달러 선물 옵션이 있다.

4)통화 옵션

어떤 국가의 통화를 기초자산으로 해서 만들어진 옵션을 통화 옵션(Currency Option)이라고 한다. 통화옵션인 경우도 주가지수 옵션과 그 개념 및 가격 결정방법은 같다. 차이점은 통화옵션에서는 통화 상대국의 이자율이 주가지수 옵션의 배당률과 같은 역할을 한다는 것뿐이다.

통화 옵션은 아메리칸, 유러피언 옵션 모두가 거래되는데, 거래 상대국의 이자율이 항상 변하기 때문에 주가지수 개념으로 본다면 배당이 항상 존재하는 것으로 볼 수 있다. 즉 통화 옵션에서 아메리칸 옵션은 항상 유러피언 옵션보다 비싸다. 예를 들어, 현재 한국 원화와 미국 달러가 달러당 1,000원에 거래되고 있고, 미국의 이자율이 고정된 상태에서 한국이 부동산 경기 안정을 위해 이자율을 1% 올린다고 발표한다면, 한국 원화는 평가절상되어 달러당 900원이 될 수 있을 것이다. 즉 배당을 발표할 때 주가가 움직이는 것처럼 한 국가의 이자율 변동은 즉시 환율에 반영된다.

어떻게 가격을 매길 것인가?

사실 일본 도지마 쌀 거래소의 상인들이나 동시대 영국, 네덜란드의 중개상들, 아니면 아메리카 원주민들의 선물 옵션거래에서도 비록 정교하게 계산된 형태는 아니었지만, 분명 자산의 미래가격을 어떻게든 ‘현재’가격으로 매기고 거래했음은 분명한 사실이다. 증권거래가 활발히 이루어진 1900년대 초반 이후에는 다양한 파생상품 가격 산정 공식들이 쏟아져 나왔다. 그렇다면 피셔블랙과 마이런 숄즈의 블랙숄즈 방정식은 어떤 방정식이길래 금융공학의 패러다임을 바꿔놓았을까?

공짜는 없다

대부분의 사람들이 막연하게 갖고 있는 인식 중의 하나가 파생상품을 활용하면 남들보다 더 이익이 되는 금융거래를 만들 수 있다는 착각이다.

여기서 파생상품이라 함은 어떤 기초가 되는 상품을 파생시킨 상품을 뜻한다.

예를 들어, 주가가 2,000이 넘을 경우 100만원을 받는 옵션 상품이 있다고 하면, 이 옵션 상품을 파생상품이라고 하는 것이다. 기초가 되는 주가는 기초자산이라고 부른다. 결론부터 말하자면, 어떠한 파생상품도 절대로 희생을 치르지 않고서는 원하는 바를 얻을 수 없다는 것이 블랙숄즈 방정식이 갖고 있는 기본 전제다. 그래서 블랙숄즈 방정식으로 도출된 가격을 공정가격(fair price)이라고도 부른다. 좀 더 정확히 말하자면, 블랙숄즈 방정식은 현재까지 발표된 방정식 중에서 공정가격에 가장 가까운 가격이라고 표현하는 게 맞다.

블랙숄즈 방정식은 엄밀하게 표현하면 블랙숄즈 편미분 방정식인데, 여기서 간단하게 방정식이라고 표현한 이유는 방정식과 미분방정식 간에 사실상 큰 차이가 없기 때문이다. 굳이 차이를 들자면, 일반 방정식은 풀었을 때 답이 숫자로 나오는 반면,(물론 일부 방정식은 닫힌 해가 존재하지 않는 경우도 있지만 말이다.) 미분방정식은 해가 함수라는 점과 미분이 들어간다는 차이가 있다. 편미분방정식은 미분방정식 중에도 변수가 두 개 이상인 경우를 일컫는 것에 지나지 않는다. 블랙숄즈 방정식은 주가와 시간이라는 두 개의 변수로 미분한 형태이며, 그래서 편미분방정식이라고 부른다.

블랙숄즈 방정식의 개념은 간단하다. 파생상품 가격은 시간과 기초자산이 변화면 같이 변하게 된다. 계약만기일이 다가올수록 불확실성이 줄어들기 때문에 시간이 흐를수록 파생상품의 가격은 낮아질 것이다. 주가가 1,999인데 2,000이 넘으면 100만 원을 주겠다는 옵션에 대한 대가와 주가가 1,500인데 2,000을 넘으면 100만 원을 주겠다는 옵션에 대한 대가 사이에는 분명한 차이가 있을 것이다. 즉 기초자산의 변화에 따라서 파생상품의 가격은 변하게 된다. 이러한 두 가지 상식을 기반으로 블랙과 숄즈는 아래와 같은 개념의 방정식을 발표했다.

“시간과 기초자산의 변화에 따른 파생상품 가격의 변화는 무위험상품(은행예금 또는 채권)투자와 효과가 같다.”

많을 분들이 황당해할지도 모른다. 최첨단 방식으로 만들어낸 파생상품의 가치가 고작 고정금리를 주는 예금과 다를 바 없다면 도대체 파생상품은 왜 만들었을까? 그냥 예금에 넣어두면 될 것을…. 그렇다. 아무 일도 안하고 예금에 넣어둘 수 있다면 그냥 그렇게 하면 된다. 그런데 현실은 그렇지 않다. 주가 변동에 따라 여러 가지 옵션들이 각자의 필요에 의해 만들어지고 거래된다. 인도에서 면화를 수입하는 업체는 강수량이 어떻게 되는지에 따라서 거래가격이 달라지는 파생상품을 거래하고 싶어 한다. 그래서 본질적으로 블랙숄즈 방정식은 실물경제에서 만들어지는 많은 상품들이 ‘공정한’가격으로 거래될 수 있도록 도와주는 것이 기본 역할인 셈이다.

블랙숄즈 방정식

블랙숄즈 방정식은 1973년 피셔 블랙과 마이런 숄즈에 의해 정치경제학 저널에 처음 발표되었고, 로버트 머튼이 수학적 개념을 확장해 블랙숄즈 옵션가격 결정모형이라고 명명했다. 머튼과 숄즈는 이에 대한 공로로 1997년 노벨경제학상을 수상하게 된다. 아쉽게도 피셔 블랙은 1995년 운명을 달리하는 바람에 생존자 수여 원칙을 고수하는 노벨상 수상자에 포함되지 못하고, 다만 공로자로만 언급되었다.

블랙숄즈 방정식도 역시 정규분포로부터 유도된다. 이전 장에서 살펴본 시간이 포함된 정규분포인 브라운 운동 공식을 되새겨보자.

를 주식이라는 기초자산이라고 정의하면, 주가변화¹³⁾는 평균이 이고 표준편차가 인 정규분포를 따른다고 할 수 있다. 일단 기초자산은 정규분포를 따른다는 가정과 함께 평균과 표준편차까지 쉽게 구했다. 블랙숄즈가 구하고자 했던 것은 파생상품 공식이다.

블랙숄즈 방정식의 숨은 공로자 키요시 이토

2008년 93세를 일기로 타계, 금융수학 및 확률론

블랙숄즈 방정식을 만드는 데 결정적인 수리적 근거인 이토 렘마를 1951년에 발표했다.

렘마(lemma)는 보조정리로 번역되는데, 어떤 정리를 증명하기 위해 설정되는 예비적인 정리를 말한다.

이토 렘마의 핵심 개념은 기초자산의 함수를 알면 파생상품의 함수를 구할 수 있다는 것이다. 예를 들어, 주가가 브라운 운동을 따르면 주가를 기초자산으로 하는 파생상품도 브라운 운동을 따른다는 것이다.

이토 렘마는 아무리 복잡한 파생상품의 가치도 기초자산의 행동 패턴만 알면 계산해낼 수 있다는 점에서 금융공학에서는 가장 중요한 이론 중의 하나로 평가되고 있다.

주가지수의 행동패턴을 알고 있을 때, 주가지수를 기초자산으로 하는 파생상품이 어떤 패턴을 띠게 되는지 이토 렘마를 이용해서 풀어보면 다음과 같다.

주식같은 기초자산의 행동 패턴은 이미 살펴본 바와 같이 다음과 같다.

주식을 기초자산으로 하는 임의의 파생상품 V의 행동 패턴은 이토 렘마에 의해 다음과 같이 표현된다.

즉 기초자산과 시간의 함수로 표현되는데 테일러 확장이라는 기법을 써서 도출했기 때문에 복합해 보이긴 하지만, 평균이 , 표준편차가 인 정규분포를 따른다는 간단한 개념이 그대로 적용된다. 물론 위 수식을 외우는 것은 무의미하다. 각각 주식과 파생상품이 행동패턴을 보여주는 위 두 개의 연립방정식을 풀면, 다음과 같이 그 유명한 블랙숄즈 방정식이 도출된다는 사실만 기억하자.

왼쪽 첫째 항목 는 시간이 변할 때 파생상품 가치가 변하는 정도를 나타냄.

  (만기가 가까울수록 파생상품 가치는 줄어든다.)

두 번째 항목는 기초자산 의 등락폭(변동성)에 따라 파생상품 가치가 변하는 정도를 나타낸다. 이것을 금융공학에서는 감마(gamma)라고 하는데, 주가 등락폭이 커지면 콜옵션이든 풋옵션이든 행사가능성이 높아지므로 파생상품 가치는 증가한다.

      마지막으로  는 분량만큼 기초자산을 사서 은행에 넣어두는 가치다. 오른쪽 항목인 는 파생상품을 사서 만기까지 은행에 넣어뒀을 때 받을 수 있는 이자다.

정리하면, 파생상품의 가치는 ‘일정 정도의 기초자산을 사서 은행에 넣어두고 받는 ’이자‘와 ’시간과 기초자산 변동성 변화에 따른 파생상품의 가치변화‘를 더한 것과 같다. 주식을 예로 들면,(콜옵션이든 풋옵이션이든)주식의 옵션가격은 주식을 일정비율 사서 얻게 되는 수익률(미래 수익률은 아무도 모르기 때문에 은행예금 이자율을 수익률로 가정)에, 시간의 흐름에 따라 변하는 옵션가치와 주가 등락에 따른 가치 변화를 감안한 가격이 된다.

즉 옵션의 가치는 ‘주식 수익률’에 옵션가격에 영향을 미치는 시간과 주식 변동성을 감안‘한 것과 같다는 것이다. 블랙숄즈 방정식은 이 당연한 상식을 편미분방정식으로 표현함으로써, 처음으로 파생상품 가격의 ’닫힌 해‘를 구했다는 점에서 큰 의미를 지닌다.

사실, 금융시장의 패러다임을 변화시킨 것으로 평가받는 블랙숄즈 방정식이 소개되기 150여 년 전인 1822년에 이미 프랑스의 수학자이자 물리학자인 조셉 푸리에가 열전도 편미분방정식을 제안했고, 이후 열전도 편미분방정식은 수리 물리학계에서 100여 년 이상 일반 학생들이 필수과목으로 공부해오던 평범한 이론이었다. 이런 평범한 편미분방정식이 금융에 적용되면서 금융계가 들썩거리자 많은 물리학자들이 의아해했다고 한다. ¹⁴⁾

블랙숄즈 모형의 기본 가정들

블랙숄즈 모형에서 옵션가격에 영향을 미치는 변수에는 여섯가지가 있다.

1)현재 주가

2)행사가격

3)이자율

4)변동성

5)만기까지 남은 시간

6) 배당 등 기타 주가에 영향을 미치는 요인

이 중에서 배당을 제외한 다섯 가지 변수에 대해서는 그 변수의 변화에 따른 파생상품 가격의 변화정도를 고유 용어(델타, 감마, 쎄타 등)를 써서 표현한다.

몇 년 전 유럽의 어느 대형은행과 협상하는 자리에서 상대방이 “델타 리스크는 어느 정도로 추정하십니까?”라는 질문

--> 베가 리스크로 논점 전환해 협상에서 유리한 고지를 선점한 적이 있다.

델타, 기초자산의 변화에 따른 파생상품의 변화량

예를 들어, 주가가 100달러에서 101달러로 아주 소폭 움직일 때, 옵션가격이 10달러에서 10.5달러로 변동된다면 델타는 다음 공식에 의해 0.5가 된다.

즉 델타가 0.5 라는 것은 주가(기초자산)가 소폭 움직일 때 옵션가격의 변화가 주가 변동량의 50%라는 의미와 같다.

델타 헤지

델타 헤지란 델타를 이용해 주가의 움직임에 따른 리스크를 없애는 방법이다. 위의 예에서 만일 주식1주를 매도한 투자자가 주식가격 상승에 따른 위험을 방지하고자 하는 경우, 두 개의 콜옵션을 매수하면 헤지할 수 있게 된다. 즉 주가가 101달러로 오른다면 주식 매도로 1달러의 손실이 발생하지만 옵션가격이 10달러에서 10.5달러로 오를 것이고, 두 개의 콜옵션을 매수했으므로 옵션 매수에 따른 총 이익이 1달러가 되므로 이 투자자는 주식가격이 상승하더라도 손실을 방지할 수 있다. 물론 주식가격이 하락하더라도 옵션가격이 덩달아 하락하기 때문에 이익을 창출할 수도 없게 된다. 즉 델타 헤지를 통해 이익과 손실이 서로 상쇄된다.

감마, 구부러진 부분을 주의하라

옵션은 선물과는 달리 주가에 대해 비선형 관계를 가지고 있으므로, 선형적 관계를 분석하는 것만으로는 불충분하다. 감마는 이런 비선형적 요소를 제어할 수 있는 도구다. 델타가 주가와 옵션가격간의 선형적 관계를 나타내는 지표라면, 감마는 선형적 관계로 파악할 수 없는 2차 비선형 관계를 파악하는 지표라고 이해하면 된다.

아래 그림은 델타 헤지를 이용해 거래할 경우 놓치게 되는 부분을 표현한 것이다. 감마 헤지는 이처럼 델타 헤지를 이용해 해결할 수 없는 부분 중 일부를 해결해주는 역할을 한다.

  감마를 수식으로 표현하면 다음과 같다.

즉, 주식가격의 변화에 따른 옵션 델타의 변화율을 의미한다. 수학적으로는 접선의 기울기를 한 번 더 미분(즉2차 미분)한 것과 같다.

이자율에 따른 가격변화

로(Rho)란 이자율 변화에 대한 옵션가격의 변화를 측정하는 도구다.

이자율과 콜옵션가격은 정(+)의 관계를 갖고 있다. 즉. 이자율이 상승하면 옵션가격이 올라가고, 이자율이 내려가면 옵션가격은 하락하게 된다.

표준편차의 변화에 주목하라

베가(Vega)란 변동성(표준편차)변화에 대한 옵션가격의 변화를 측정하는 도구다.

     Vega

변동성이 증가하면 주가가 그만큼 많이 출렁거린다는 뜻이므로 옵션을 행사할 가능성이 그만큼 커진다. 따라서 콜옵션이든 풋옵션이든 변동성 증가는 옵션가치의 상승을 동반한다.

시간의 가치, 쎄타

쎄타(Theta)란 시간의 변화에 따른 옵션가격의 변화를 측정하는 도구다.

옵션 만기일이 길면 길수록 주가의 불확실성이 커지기 때문에 옵션가격은 상승한다. 옵션을 파는 사람은 시간에 대한 프리미엄을 파는 것이고, 옵션을 사는 사람은 시간에 대한 리스크를 사는셈이 된다. 즉 옵션의 만기와 옵션가치는 정(+)의 관계가 성립한다.

블랙숄즈 모형의 허점들

사실 블랙숄즈 모형은 다음과 같은 여러 가지 비현실적 가정들 때문에, 실제 적용에서는 명확히 그 한계를 인식하고 이에 맞는 거래 모델을 구성해야 한다. 블랙숄즈 모형의 창시자인 로버트 머튼도 트레이더들의 무분별한 블랙숄즈 모형 적용이 2008년 글로벌 금융위기를 야기시켰다고 인정한 바 있다.

다음은 1973년에 블랙숄즈 모형이 발표될 때 언급했던 네 가지 비현실적인  가정들이다. 실제로는 열가지 가정이 있지만 이 중 비현실적이라고 생각되는 것만 골랐다.

1) 주가의 표준편차는 알려져 있고 만기까지 일정하다.

이 부분은 현재 시간이 포함된 표준편차로 수정되어 사용되고 있기 때문에 이제는 큰 이론적 단점은 아니지만, 여전히 해결해야 할 숙제가 있어 보인다. 우선 표준편차를 구하는 기간을 과거 언제부터 거슬러 올라가서 계산할 것인가에 대한 문제다. 한달, 1년, 아니면 3년? 실제로 대학원 동료들과 AMEX의 QQQ인덱스를 대상으로 무위험 차익거래를 수행할 때, 이 표준편차 계산 기간을 두고 상당한 설전을 벌였던 기억이 있다.

2)주식가격은 급등락하지 않는다.

이는 주가가 로그정규분포를 따른다는 것을 의미하는데, 실제로는 1987년 블랙 먼데이, 1998년 LCTM파산, 2001년 9.11테러, 2008년 글로벌 금융위기 등의 큰 사건들이 발생한다. 물론 이론적으로는 이런 ‘한 방’을 커버할 수 있는 통계적 기법이 있긴 하지만, 이 한 방을 방어하기 위해 지나치게 비싼 대가를 평온한 시기에 치러야 한다는 허점이 또한 존재한다.

3) 단기 이자율은 변하지 않는다.

표준편차가 변하지 않는다는 것과 마찬가지로 비현실적인 가정이긴 하지만, 이자율에 대해서도 시간이 포함된 확률과정을 고려함으로써 이론적으로는 해결된 상태다. 물론 현실적으로 여러 가지 제약이 따르지만 말이다.

4)무위험 차익거래는 발생하지 않는다.

실제로는 오늘도 무위험 차익거래를 찾기 위해 하이에나처럼 모니터에 눈을 밝히는 트레이더들이 무수히 많다.

블랙숄즈 방정식은 금융위기의 주범?

1973년 블랙숄즈 모델 발표 후 채 한 달도 되기 전에 시카고 옵션거래소에서는 16개의 주식을 대상으로 옵션을 거래하기 시작했고, 숄즈 교수는 시카고대로 옮겨 블랙숄즈 방정식을 전파하기 시작했다.

블랙숄즈의 영향력은 기하급수적으로 커지면서 2007년에는 전 세계 파생상품 거래규모가 4,000조에 달러에 이르렀다. 이 규모는 지난 100년 동안 전 세계 제조업 총 생산량의 10배에 달하는 금액이다.

그러나 2008년 금융위기 후에 금융공학은 금융위기를 일으킨 주범이라는 비판을 들으며 역사박물관에나 들어가야 할 운명인 것처럼 묘사되기 시작했다. 블랙숄즈 모델의 기초가 되는 여러 가지 가정들이 비현실적이라는 비판에 직면했다. 어떤 학자들은 블랙숄즈 방정식 자체에는 문제가 없을지 몰라도 파생상품을 통제하고 있는 다양한 규제가 시장 상황을 정확히 반영하지 못한 것이 문제라고 지적하면서, 어쨌거나 금융공학이라는 알 수 없는 기법은 사회에 전혀 도움을 주지 못한다는 주장까지 나오게 되었다.

모델 자체에 문제가 있다고 보는 사람들은 블랙숄즈 모델에서는 거의 일어날 것 같지 않다고 가정한 큰 사건들이 예상외로 많이 일어난다는 사실에 주목한다. 앞서 블랙숄즈 모델은 정규분포가정하에서 완성되었다고 설명한 바 있다.

그런데 실제로는 1987년 10월 전 세계 주가 총액이 불과 몇 시간 만에 20%가 사라진 블랙 먼데이, 1997-1998년 아시아 금융위기, 2001년 9.11사태, 2008년 글로벌 금융위기 등 대형 사건들이 가끔 일어난다고 보기에는 너무 자주 발생하고 있으며, 따라서 금융시장 전체를 흔들 만큼 큰 사건의 발생확률이 무시할 만큼 작다는 블랙숄즈의 가정에 의문이 제기되기 시작했다. 나심 니콜라스 탈레브(Nassim Nicholas Taleb)는 그의 저서 「검은 백조」에서 거의 볼 수 없을 정도로 희귀한 검은 백조가 호주의 어느 강에서 다량 발견된 사실을 비유적 예로 들며, 거의 발생하지 않을 것으로 생각되던 합리적 전제들이 어느 날 실수로 판명될 수 있다는 주장을 통해 블랙숄즈 모델의 ‘합리적’가정들을 비판한다.

좀 더 나아가서 어떤 이들은 블랙숄즈 모형 자체를 통한 파생상품 거래가 재앙을 불러온 사례로 1998년 LTCM(Long Term Capital Management)사례를 든다. 마이런 숄즈와 로버트 머튼은 LTCM이라는 헤지펀드의 파트너로서 파생상품 거래에 깊이 관여하게 된다. 그리고 거래를 시작하자마자 전통적인 방식으로 거래하는 많은 경쟁자들을 물리치고 탁월한 성과를 내기 시작했다.

하지만 러시아 금융위기가 닥치자 그 회사는 6개월 만에 약 40억 달러의 손실을 기록하며 미연방준비제도에서 지정한 은행 컨소시엄에 매각되는 처지에 이른다. 1998년 9월의 일이었다.

블랙숄즈 모델을 비판하는 쪽에서는 이 몰락에 대해 블랙숄즈 모형을 이용한 시스템 트레이딩이 가져온 결과라고 지적하는 반면, 마이런 숄즈 교수는 블랙숄즈 모형은 LTCM의 몰락에 아무런 책임이 없다고 주장한다. LTCM의 몰락은 1998년 러시아 금융위기를 버틸 수 없는 상황에서 발생한 리스크 관리 이슈라는 것이 그의 주장이다.

LTCM의 몰락이 블랙숄즈 모델을 위주로 한 금융공학적 접근의 실패인지, 아니면 숄즈의 주장대로 금융공학자들의 의견을 무시한 트레이더들의 리스크 감수 전략에 따른 결과인지에 대해서는 지난 10여 년간 끊임없이 논란이 벌어지고 있다. 그리고 정확히 10년 후인 2008년 9월 리만 브라더스가 파산했다.

블랙숄즈 모델에 문제가 있는지에 대해서는 논란이 있을지라도 인간의 욕망이 화를 불렀다는 사실만큼은 확실하다. 더 많이 벌고자 하는 욕망, 리스크를 감수하고서라도 남들보다 더 많이 챙기려는 욕구 말이다. 블랙숄즈 모델이라는 날개를 달고 트레이더들은 끝없이 하늘로 오른다. 태양이 점점 가까워지면서 날개를 지탱하고 있던 왁스가 녹아 내리지만 더 많이 챙기려는 인간의 욕심은 날개가 타들어가는 줄도 모르고 더 높이 날아오른다. 그리고 이카루스처럼 한순간 땅으로 추락한 것이다.

1987년의 블랙먼데이는 포트폴리오 보험이라는 파생상품 거래가 악화시켰다. 포트폴리오 보험은 시장이 불확실 할 때 주가선물을 매각함으로써 전체 포트폴리오의 가치 하락을 방지하게끔 설계된 금융상품이기에 보험이라는 용어가 붙었다. 1987년 주가가 지속적으로 하락할 때, 포트폴리오 보험 트레이더들이 지속적으로 주가선물을 매각함으로써 블랙 먼데이를 부추겼다는 비난을 받았다. 1998년 LTCM의 몰락도 인간의 욕망이라는 요소를 차지하고서라도 블랙숄즈 모형이 적용된 사례였다고 비판받는다. 2001년 엔론 사건도 금융공학적 기법의 결과이고, 2008년 글로벌 금융위기도 역시 그렇다는 것이 비판론자들의 주장이다.

블랙숄즈 방정식은 금융시장에 대변혁을 가져왔다. 긍정적이든 부정적이든 블랙숄즈가 풀지 못한 이슈들은 후세의 금융공학자들이 풀어야 할 과제인 셈이다. 최근의 금융위기는 좀 더 정교하고 세밀한 규제와 기법을 만들어낼 것이며, 기업들은 이에 따라 좀 더 유능한 금융공학자를 영입하기 위해 힘쓸 것이다.

블랙숄즈 방정식이 필요없는 옵션 가격 계산법

블랙숄즈 모형은 세계 최초로 ‘공정한’옵션가격을 계산할 수 있도록 제안한 모델이라는 점에서 가치가 있고, 공식만 집어넣으면 답이 나온다는 점과 블랙숄즈의 편미분방정식을 이용해서 여러 가지 응용을 할 수 있다는 장점이 있다. 그러나 모델이 지나치게 어렵고(물론 쉽다는 의견도 있긴 하지만)유러피언 옵션처럼 만기에 가서야 옵션권리를 행사할 수 있는 옵션가격을 계산하는 데는 문제가 없지만, 아메리칸 옵션처럼 만기 전에도 언제든지 옵션권리를 행사할 수 있는 옵션가격을 계산하는 데에는 많은 제약이 있어서 이후 많은 학자들이 이에 대한 개선 모델을 연구하기 시작했다.

만기에만 옵션권리를 행사할 수 있는 옵션- 유러피언 옵션

만기 전에라도 언제든지 원하면 옵션권리를 행사할 수 있는 옵션- 아메리칸 옵션

그 이후에 붙어진 다른 옵션들은 유러피언 옵션과 아메리칸 옵션의 속성을 합성한 경우가 꽤 있다.

버뮤단 옵션은 만기 이전에 정해진 횟수만큼 옵션권리를 행사할 수 있는 거래형태로서, 만기에 딱 한번만 권리행사가 가능한 유러피언 옵션과 만기 전에 언제든지 권리행사가 가능한 아메리칸 옵션의 중간 형태다.

아메리칸 옵션이나 버뮤단 옵션처럼 유연하게 옵션권리를 행사할 수 있는 옵션 모델은 1979년 존 콕스, 스테판 로스, 마크 루빈스타인이 이항모델(이항옵션모형)을 활용한 옵션가격 모델을 발표하면서 모델의 탁월한 유연성에 힘입어 응용 분야가 급속도로 확산된다.

모든 옵션은 주식과 채권을 합성해 만들 수 있다.

이항옵션모형을 개발한 학자 중 마크 루빈스타인은 현재 UC버클리대 경영대학원 교수로 재직 중이며, 버클리대 금융공학 석사 과정을 개설하는 데 혁혁한 기여를 한 학자다. 존 콕스, 스테판 로스와 함께 이항옵션모형을 개발한 공적 외에도 1976년에는 앞서 언급한 포트폴리오 보험이라는 금융상품을 개발했는데, 1987년 주식시장이 충격에 빠진 블랙 먼데이가 바로 이 상품 때문이었다는 것은 아이러니다.

블랙숄즈방정식을 만든 마이런 숄즈와 로버트 머튼이 이끌었던 LTCM이 1998년 파산

루빈스타인의 포트폴리오 보험이 1987년 주식시장 쇼크를 야기

존 콕스와 스테판 로스는 현재 MIT경영대학원 교수로 재직 중이며, 옵션 이론의 대가일 뿐 아니라 이자율 모형에 있어서도 역시 의미 있는 기여를 한 학자들이다.

존 콕스, 스테판 로스, 마크 루빈스타인이 제안한 이항옵션모형은 지극히 상식적인 개념에서 출발한다. 앞의 확률분포 부문에서 이항분포를 배웠는데 사실상 개념이 같다고 보면 된다.

옵션은 기존에 있던 상품들의 가치를 반영해 파생된 상품에 불과하다는 것이 이 모형의 기본 출발점이다.

주식과 채권을 합성하면 옵션가격을 구할 수 있다는 것이 그들의 생각이다.

아래와 같이 채권과 주식이 있다고 가정하고 이 채권과 주식을 이용해 새로운 파생상품, 즉 옵션을 만들어보자.

채권: 액면가 100원-> 1년 후 가치 100원(이자율은 0%가정)

주식은 인간이 예측할 수 없으므로 1년 후에 100원이 될 수도 있고 25원이 될 수도 있다고 가정하자. 이때 어떤 투자자가 이 채권과 주식을 가지고 아래와 같은 파생상품을 만들어 팔고 싶어 한다면, 이 파생상품의 가격은 얼마가 되어야 할까? 이 단순한 물음이 옵션가격을 계산하는 출발점이다.

즉 주식이 100원으로 오르면 가치가 50원이 되고 주식이 25원이 되면 가치가 0원이 되는 파생상품의 가격을 구하는 문제다. 유심히 보면 행사가격이 50원인 콜 옵션의 가격을 구하는 문제임을 알 수 있다. 즉 주식가격이 50원보다 높으면 그 차액을 돌려받고, 50원 이하이면 0원이 되는 옵션인 셈이다. 만일 이 문제를 풀 수 있다면, 우리는 옵션을 거래할 때에 옵션 자체 대신에 채권과 주식을 합성함으로써 옵션과 동일한 효과를 낼 수 있다.

자, 그러면 어떻게 채권과 주식을 합성해서 원하는 파생상품(여기서는 콜옵션)의 가격을 구할 수 있는지 살펴보자. 이것만 이해하면 사실상 이항옵션 모형은 다 이해한 것과 마찬가지다.

1년 후에 채권의 가치는 그대로 100원이고 주식은 100원 또는 25원이 된다. 채권과 주식을 어떤 비율로 매매하면 위에서 제시한 파생상품의 가격을 구할 수 있을까?

는 주식비율, 는 채권 비율이라 할 때, 우리가 구하고자 하는 파생상품의 가격은 주식과 채권을 합성한 형태이므로 50 가 될 것이다. 또한 주식이 오를 때는 파생상품 가치가 50원이 되므로 다음과 같이 되고,

주식이 내릴 때는 다음과 같아야 한다.

이 두 개의 연립방정식을 풀면, 이 된다. 즉 주식의 비중을 로 하고, 채권의 비중을 로 하면 원하는 파생상품을 얻을 수 있게 된다.

여기서 마이너스(-)부호는 매도하는 것을 의미한다. 따라서 파생상품(여기서는 콜옵션)의 가격은 이 된다.

다시 말해서 콜옵션 한 개를 매수하는 것은 주식2/3를 매수하고 채권 1/6을 매도하는 것을 뜻한다. 풋옵션인 경우에는 파생상품의 가치만 풋개념으로 바꿔준 후 (즉 주가가 오르면 가치가 0, 내리면 가치가 50)계산하면 된다.

이것이 콕스, 로스, 루빈스타인이 고안한 이항옵션모형의 핵심이다. 위에서는 단 한 번의 시행만 있는 것으로 가정했지만, 이러한 시행을 n번 반복할 수 있는 것이 이항옵션모형이다. 이 n을 무한히 반복하면 통계학에서 다루는 중심극한정리에 의해 이항옵션 모형의 결과값과 블랙숄즈 모형의 결과값이 같게 된다.

시장에서는 어떻게 파생상품 가격이 공정하다는 것을 알게 될까?

만일 이 파생상품의 가격이 16원보다 싸거나 비싸다면 무위험 차익거래, 즉 아무런 리스크 없이 시장에 잘못 형성된 가격 차이를 이용해 이득을 챙기는 거래(arbitrage, 재정거래)기회가 발생하게 된다. 만약 파생상품 거래 가격이 16원이라고 한다면, 이론가격인 16원보다 싸므로 파생상품 가격이 저평가된 것으로 볼 수 있다. 즉 공정가격보다 싸기 때문에 파생상품을 16원에 매수하고, 반대로 주식과 채권의 합성상품  ( )을 매도하면 2/3원만큼 무위험 차익을 얻을 수 있다.

실제 금융시장에서는 이런 무위험 차익거래가 매일 일너난다. 이것이 금융이 본질적으로 갖고 있는 하이에나적 성격인데, 냉정하게 보면 이런 거래 행위를 비판할 것은 못 된다. 이들 무위험 차익거래자들이 어떤 동기로 그런 거래를 하든 간에 시장에서는 이들의 ‘노력’에 의해 공정가격이 형성되는 긍정적인 효과가 있기 때문이다.

주가모형, 내일의 주가를 어떻게 예측할 것인가?

효율적 시장가설(Efficient Market Hypothesis)에 따르면, 현재의 주가는 과거의 모든 정보를 포함하고 있으며, 따라서 현재의 주가를 가지고 미래를 예측할 수 없다. 이것을 다른 말로 표현하면, 주가는 취보모델(Random Walk Model)을 따른다고 하는데, 이 용어는 술 취한 사람이 걸어갈 때 어느 쪽으로 갈지 전혀 알 수 없다는 뜻에서 붙여진 이름이다. 취보모델을 이용해서 주가 모형을 만들어보면 다음과 같다.

즉, 기의 주가는 기의 주가와 아무도 방향을 예측할 수 없는 오차항의 합으로 이루어진다는 뜻이다. 여기서 은 평균이 0이고 분산이 인 정규분포를 따르는 것으로 가정한다.

그런데 이럴 경우 주가가 마이너스 값을 가질 수 있는 문제가 생기게 된다. 예를 들어 현재 주식가격이 0.5달러이고, 의 평균이 0, 표준편차가 0.3달러라면, 주가 모형과 주식가격의 95%신뢰구간은 다음과 같다.

주가모형 :

신뢰구간 :

즉 주식가격이 0이하가 나올 수 있다는 것이다. 현실적으로 주가는 0이하가 나올 수 없는데 어떻게 해결해야 할까?

마이너스 주가가 나오는 이유는 무엇일까? 주가가 정규분포를 따른다고 가정했기 때문에 정규분포의 좌우대칭 속성에서 비롯되는 것이다. 그렇다면 주가수익률을 이용하면 어떨까? 이산형 주가수익률을 보면 다음과 같다.

                이산형주가수익률 =

이것을 연속형으로 바꿔주기 위해서는 자연로그를 취해주면 된다.

              연속형 수익률 =

이 주가수익률이 정규분포를 따른다고 가정하고 주가 모형을 만들어보면 다음과 같다. 주가의 기대 수익률을 라 하고 을 취보모델이라 하면 다음과 같다.

  즉

여기서 은 평균이 0, 표준편차가 인 정규분포다.

이것은 다른말로 표현하면, 주가수익률은 평균이 이고 표준편차가 인 정규분포를 따른다고 할 수 있다. 신기한 것은 이 주가수익률은(주가 자체와는 달리) 절대로 마이너스 부호를 갖지 않게 된다는 사실이다. 양변에 지수함수를 취하면 이 되는데, t기의 주가가 마이너스가 아니고 지수함수는 마이너스가 될 수 없으므로 t+1 시점의 주가는 항상 양의 부호를 갖게 되기 때문이다. 즉 연속형 복리 수익률을 활용하면 주가가 음의 부호를 갖는 문제를 해결할 수 있게 된다. 수식①로 돌아가서 다시 표현해보면 ②의 식과 같다.

즉 주가에 로그를 취한 모형은 주가의 취보 가정을 만족하면서, 주가가 마이너스 부호를 갖는 문제를 없애준다. 이처럼 자연로그를 취해주면 정규분포가 되는 분포함수를 로그정규분포라고 한다. 주가 자체는 로그정규분포를 따르고, 주가수익률은 정규분포를 따르게 되는 것이다.

주가등락폭에 주목하라.

앞에서 다음 기의 주가를 예측하는 모델을 알아봤는데, 결국 주가 모형은 또는 (는 상수이므로 일단은 무시하자.)이 어떤 형태를 띠고 있는가에 따라서 결정된다. 아주 짧은 구간에서는 기대수익률이 무의미하고, 오직 변동성(또는 표준편차)만으로 주가를 설명할 수 있게 된다. 즉 파생상품 가격은 주가의 등락폭을 얼마나 잘 정의해서 구하느냐가 관건이다. 그래서 금융공학에서는 에러항인 분석이 아주 중요한데, 이 부분은 확률과정이라는 개념을 이용해서 풀게 된다. 확률과정이란 시간이 개입된 확률을 의미하는데, 어떤 변수값이 시간에 따라 불확실하게 변할 때 우리는 그 변수가 확률과정을 따른다고 한다. 참고로 확률과의 차이점을 살펴보면, 확률은 정지된 어떤 시점에 발생 가능성을 구하는 것이고 확률과정은 여기에 시간이라는 변수가 포함된 것이다.

금융공학에서 다루는 확률과정의 기본인 위너 프로세스¹⁵⁾

위너가 제안한 확률과정, 즉 위너 프로세스는 간단히 정리하면 다음과 같다. 만약 에러항 의 평균이 0이고 분산이 1인 정규분포를 따른다고 하면, 아주 짧은 구간 에서 주가 변화량는 다음과 같은 성질을 갖게 된다.

성질1. 이 짧으면 짧을수록 주가변화량 ()은 제로(0)에 가깝고, 기간이 길면 길수록 그 비율은 시간의 제곱근에 비례해 커진다.

이것은 프랑스의 수학자 루이 바슐리에가 주장한 이론인데, 후에 천체물리학자 오스본이 통계학적으로 증명하는 데 성공했다. 오스본은 주가 변동이 무작위하게 움직이는 분자운동, 즉 브라운 운동과 같다는 사실을 증명하기도 했다.

성질2. 서로 다른 두 구간의 는 서로 독립적이다. 즉 특정 구간의 주가 변화량이 다른 구간에서의 주가 변화량에 영향을 미치지 않는다.

만약 어제의 주가 방향이 오늘 주가에 영향을 미친다고 한다면, 미래 주가는 어느 누구도 예측할 수 없다는 취보과정의 기본 가정에 위배된다. 사실 수학이나 통계학 모델에서 미래를 예측하는 모든 이론은 본질적으로 미래 상황은 과거상황과 별개로 발생한다는 가정하에 출발한다. 이것을 통계학 용어로 메모리리스(memoryless)라고도 한다. 이 용어는 과거에 어떤 일이 일어났는지 미래는 기억할 수 없다는 의미로, 즉 별개의 사건이라는 뜻이다. 물론 2008년 글로벌 금융위기 이후 이러한 취보과정 가설에 대해 근본적인 의문을 제기하는 움직임이 있고, 과거 수천 년간 이어왔던 학문의 기본 토대인 연역적 추론에 반기를 드는 사람들도 생겨나고 있다.

기대수익률과 변동성의 결합

아주 짧은 구간에서는 주가의 기대수익률이 의미가 없으므로 변동성만으로 주가패턴을 분석할 수 있지만, 분석기간이 길 때는 평균 기대수익률이라는 항목을 포함시켜야 한다. 연간 기대수익률을 라 하고 연간 표준편차(또는 변동성)를 라 하면, 앞에서 배운 주가의 기대수익률 모델과 변동성 모델을 결합해 다음과 같이 표현할 수 있다.

이 방정식은 브라운 운동이다.

우변은 평균이 이고 표준편차가 인 정규분포를 따른다. 좌변은 미적분 개념으로부터 와 같으므로, 대신에 를 이용해서 앞 수식을 다시 표현하면 다음과 같다.

즉 주가에 자연로그를 취한 형태가 되는데, 자연로그를 없애기 위해 양변에 지수함수를 취해주면 가 된다. 이 사실로부터 주가는 로그정규분포(로그를 취하면 정규분포가 되는 분포함수)를 따른다는 사실이 도출된다.

파생상품의 핵심, 변동성을 공략하자

옵션을 거래하는 기간 동안 주가 또는 가타 기초자산 가격의 등락폭을 알 수 없기 때문에 과거의 변동성(표준편차)을 이용해 옵션가격을 계산하는 것이 일반적이다. 이렇게 계산된 변동성을 역사적 변동성이라고 한다. 여기서 결국 앞의 블랙숄즈 방정식의 비현실적 가정 중 하나로 거론된 ‘변하지 않는 표준편차’를 과거 어느 기간을 기준으로 계산할 것인가라는 현실적인 문제에 봉착하게 된다. 이런 문제를 풀기 위해 나온 방법 중 하나가 ‘주어진 옵션가격을 이용해서 그 속에 내포된 변동성을 역산하는 방법’인데, 이렇게 옵션에 내재된 변동성을 내재변동성(implied volatility)이라고 한다.

미소에 현혹되지 말자.

변동성은 시간에 따라 끊임없이 변하고, 또한 기초자산의 가격변화에 따라서도 서로 다른 것으로 알려져 있다. 실제 거래되는 옵션의 변동성을 계산해보면 옵션 행사가격 주변에서는 항상 미소 짓는 형태를 띤다. 아래 그림은 블랙숄즈 모형에서 가정하고 있는 변동성과 실제 변동성을 보여준다. 이렇게 미소짓는 형태의 변동성을 ‘변동성 스마일’이라고 한다.

여기서 등가격(at the money)이란 옵션의 행사가격이 기초자산의 가격과 같을 때 쓰는 용어다. 이와 유사하게, (콜옵션의 경우)옵션의 행사가격이 기초자산 가격보다 낮으면 ‘본질가치’가 있는 것이므로 내가격(in the money)이라 하고, 그 반대는 외가격(out of the money)이라고 칭한다(풋옵션은 이와 반대).

위의 그림에서 알 수 있는 것처럼, 블랙숄즈 모형을 이용해 옵션가격을 계산하면 등가격에서는 변동성이 높은 것으로 착각해 옵션가격이 과대평가되고(변동성이 크면 옵션가격이 높아짐), 외가격이나 내가격에서는 과소평가되는 오류가 발생한다.

변동성 스마일은 통화 옵션에서 가장 뚜렷하게 나타난다. 환율은 일반적으로 주가보다 등락폭이 더 큰 것으로 알려져 있다. 그렇기 때문에 분포함수가 실제 로그정규분포보다 꼬리 부분이 더 두껍게 형성된다. 반대로 중심부는 더 뽀족하게 된다.¹⁶⁾

즉 양쪽으로 움직일 가능성이 로그정규분포보다 크기 때문에, 그만큼 내가격이나 외가격에서 실제 시장에서의 옵션가격은 높게 형성된다.

한편 주식 옵션의 변동성은 통화 옵션의 변동성과 다소 다른 양상을 띤다. 주식시장은 아래와 같이 한쪽으로 치우친 미소 형태인 것으로 알려져 있다. 이것을 변동성 스큐(Volatility Skew)라고 한다.

왜 이런 현상이 발생할까? 비록 많은 학자들이 효율적 시장가설을 전제로 이론을 만들어내고 어떠한 무위험 차익거래도 궁극적으로 불가능하다고 주장하지만, 실제 금융시장은 심리적 요인이 상당히 많이 작용하는 것이 사실이기 때문이다. 주식시장의 경우, 대부분의 투자자들은 주식을 사서 돈을 벌려고 하지 주식을 팔아서 돈을 벌려고 하지 않는다. 이 단순한 현실이 변동성을 웃거나 한쪽으로 미소 짓게 만드는 원인이다.

주식을 매수한 투자자의 심리 속으로 들어가보자. 이 투자자는 주가가 올라서 돈을 벌 수 있는 가능성과 함께 주가가 내려서 손해를 볼 가능성을 염두에 두고 행동한다. 우선 돈을 잃을 가능성을 최소화하기 위한 조치를 취할 것이다. 가장 간단한 방법은 일정가격 이하로 주가가 내려갔을 때 보호할 수 있는 풋옵션을 사두는 것이다. 앞서 주식시장에서는 대부분의 투자자들이 주식을 매수해 이익을 창출하려고 한다고 했는데, 이 많은 투자자들이 풋옵션을 매수하고자 한다면 어떻게 되겠는가? 당연히 풋옵션가격은 이론가격보다 높게 형성될 것이다. 옵션가격이 비싸다는 얘기는 다른말로 변동성이 커졌다는 의미다.

두 번째 조치는 많은 투자자들이 대박보다는 일정 수준의 안정적인 수익을 원하는 심리에 기인한다. 일정가격 이상으로 주가가 오를 때는 이익을 포기할 줄 아는 것이다. 즉 일정 가격 이상에서 행사할 수 있는 콜옵션을 팔아서 이익도 챙기고 그 돈으로 혹시 주가가 어느 정도 내리더라도 손실을 만회할 재원으로 활용하기를 원한다. 앞서 언급했듯이, 이렇게 주식을 사고 콜옵션을 매도하는 전략은 전 세계 옵션거래의 절반을 차지할 정도로 보편화되어 있다.

이렇게 콜옵션을 매도함으로써 옵션가격은 이론가격보다 낮아지게 되며, 다른 말로 실제 변동성이 이론적 변동성보다 작아지게 된다. 투자자자의 이런 두 가지 심리가 주식 옵션의 변동성 스큐를 만들어 내는 것이다.

마지막으로 변동성은 옵션 만기에 따라 달라지기도 한다. 옵션만기가 길수록 사소한 변동성이 서로 상쇄되어 사라지기 때문에, 변동성 스마일 현상이 덜 나타나고, 옵션 만기가 가까울수록 사소한 변동성들도 옵션가격에 영향을 미치기 때문에 변동성 스마일 현상이 크게 나타난다.

변동성에 확률과정을 입히다.

이제 더 이상 금융 자산의 변동성이 상수가 아니라는 사실을 알게 되었다. 결국 상수 변동성을 가정하고 가격을 산출하는 블랙숄즈 모형이 실제 상황에서 한계가 있다는 사실에 도달한 것이다.

변동성이 일정하지 않고 시간에 따라 변한다는 사실을 이용한 변동성 분석 방법은 다양하게 연구되고 있는데, 여기서는 헐(Hull)과 화이트(White)가 제시한 확률변동성 모델을 만나보자. 헐과 화이트는 기초자산과 변동성이 모두 위너 프로세스를 따르기는 하지만, 서로 간에는 독립적임을 가정하고 다음과 같은 모형을 제시했다.

변동성 모델 :

   : 평균으로 회귀하는 속도를 나타내는 계수

   : 장기 평균 변동성

   : 현재의 변동성

주가 모델은 앞서 배운 모델과 동일하다. 변동성 모델은 장기 평균 변동성이라는 것이 존재해 현재의 변동성이 크거나 작을 경우 장기 평균 변동성으로 회귀하려는 속성을 가지며, 만큼의 속도로 장기 평균 변동성에 수렴한다는 모델이다. 헐과 화이트는 이 모델을 이용해 블랙숄즈 모형이 등가격에서는 옵션가격이 과대 계산되고, 외가격과 내가격에서는 과소 계산된다는 사실을 밝혀냄으로써 변동성 스마일 성질을 이론적으로 증명했다.

실제로 이러한 변동성의 불일치를 이용해 수익을 추구하는 투자자들이 상당히 많다. 이것이 유명한 ‘Buy Low Sell High'법칙인데, 내재변동성이 낮은 옵션을 매수하고, 내재변동성이 높은 옵션을 매도함으로써 수익을 추구하는 전략이다. 이러한 투자 전략은 상황에 따라 차이가 있겠지만, 미국 증권시장에서 대체로 월 5%에서 15%수준의 높은 수익률을 기록하는 것으로 알려져 있다.

이것은 다른 관점에서 본다면, 많은 투자가들이 블랙숄즈 모형을 이용해 옵션가치를 평가하고 있다는 사실과 더불어 블랙숄즈 모형의 한계를 이용해 수익을 창출하려는 세력이 시장에 공존하고 있으며, 따라서 시장은 효율적이지 않음을 증명하는 것이라고도 할 수 있다. 즉 실제 시장에는 철저한 분석과 정확한 모델을 이용한다면 수익을 창출할 가능성이 아주 높은 정보의 비대칭성이 존재하고 있다는 것이다.

6장 상생의 금융거래 (스왑)

2008년 9월 15일 오전 1시 45분, 미국 역사상 최대 규모의 파산인 리만 브라더스의 파산이 공식 발표된 날.

2008년 금융위기와 통화스왑의 마법

고래 싸움에 새우등 터지듯 한국 금융시장에도 여지없이 낙진이 떨어졌다. 외국 투자자본의 급속한 이탈로 달러 대비 원화가치는 2008년 8월 마지막 날 1,089원에서 11월 24일 28% 하락한 1,513원까지 추락했고, 8월 말 1,474.2였던 KOSPI 지수는 10월 24일 938.8까지 급락했다. 회사채에 대한 신용 스프레드(가산금리)도 세배 가까이 상승하면서 일반 기업의 자금조달도 치명타를 입었다. 2008년 4사분기 GDP 성장율은 5.1% 감소했고, 실업률 또한 2008년 8월 3.1%에서 2009년 상반기에는 4%까지 급상승했다. 한마디로 국가 경제가 1998년 외환위기 이래 최대의 위기에 직면했다.

그러나 미국 4대 투자은행의 파산이 이렇듯 초단기간에 한국 경제에 A급 태풍과도 같은 충격을 가했지만, 이후 한국 경제는 대서양 양쪽에서 수많은 경제적 희생자가 나오는 동안에도 별다른 충격 없이 슬기롭게 헤쳐나가게 된다. 도대체 어떻게 이러한 위기 극복이 가능했을까?

 여러 가지 이유가 있겠지만, 통화스왑이 위기 극복에 중요한 역할을 했음은 자명한 사실이다.

급속한 외국 투자자본의 이탈로부터 원화가치를 안정적으로 유지하기 위해 한국 정부는 미국과 2008년 10월 3000억 달러 규모의 원-달러 스왑거래 협약을 체결했고, 같은 해 12월에는 중국, 일본과 각각 1,800억 위안과 200억 달러 규모의 스왑거래 협약을 체결함으로써 원화가치를 안정화시켰을 뿐 아니라 자금조달에 어려움을 겪고 있던 국내 시중은행에 266억 달러를 지원할 수 있었다.

이처럼 통화스왑은 필요한 시기에 필요한 외화를 확보함으로써, 환 리스크를 헤지하는 데 유용한 도구로 사용되었다.

독도 영유권 문제와 한일 통화스왑

일본의 우경화와 2012년 8월 이명박 전 대통령의 독도 방문 등으로 한일 관계 급랭.

2012년 10월 일본 조지마고리키 재무상 “한일 통화스왑 확대가 현재로서는 필요하지 않을 것으로 보인다.” 이에 한국정부도 더 이상 한일 통화스왑을 확대할 필요가 없다고 대응.

2015년 2월 23일 만기와 함께 마지막으로 남아있던 100억 달러 규모의 양자 간 통화스왑이 종료.

한일 통화스왑은 199년 6월에 처음 체결됨. 당시 한국은 IMF 외환위기를 겪으면서 외환 유동성의 중요성을 절감하는 상황.

쌍방간 필요시에 최대 100억 달러를 인출할 수 있도록 스왑거래협약(BSA, Bilateranl Swap Agreement)을 체결하고 2006년 2월 수정 계약에서는 일본 정부도 필요시에 50억 달러를 인출할 수 있도록 함으로써 양국은 외환 협력에 대한 강력한 의지를 보여주었다.

2011년 확대된 수정 협약의 주요 내용 요약

1)원-엔 스왑을 기존 30억 달러에서 300억 달러로 확대. 즉 한국은 필요시 300억 달러에 해당하는 일본 엔화를 요철할 수 있고, 일본 역시 필요시 300억 달러에 해당하는 원화 요구 가능

2) 원-달러 스왑은 기존 100억 달러에서 400억 달러로 확대

3) 2000년 5월에 체결된 아세안(ASEAN)공동위기 대응 프로젝트인 치앙마이 이니셔티브(CMI, Chiang Mai Initiative)확대, CMI는 아세안 10개국과 한국, 일본, 중국이 외환위기 및 금융위기 발생을 막기 위한 1,200억 달러 규모의 공동 기금을 마련하는 것을 골자로 한 통화스왑 협정

일본은 왜 통화스왑을 수용했을까?

2011년 8월 당시 일본은 1조 2,200억 달러의 외환보유, 한일 통화스왑 총금액인 400억 달러는 없어도 그만인 수준, 일본의 환 리스크 헤지에 거의 영향을 끼치지 않는다. 독도 문제가 불거져 양국관계가 급랭해짐에 따라 만기가 돌아온 한일 통화스왑 연장을 거부할 때에도 미동조차 하지 않았다.(한국 또한 중국과 다양한 통화스왑을 체결해놓은 상태라 아쉬울 게 없었다.)

일본이 두려워했던 것은 외환 유동성 위기가 아니라 한국의 자동차와 전자제품이었다. 만약 한국에 달러가 부족해서 원화가치가 급락하기라도 하면 한국산 자동차와 전자제품은 해외에서 그만큼 싼 가격에 팔릴 것이며, 이는 곧바로 토요타, 소니 등 일본 주력 제조업체에 심각한 타격을 줄 수밖에 없기 때문이었다. 즉 일본으로서는 몇 푼(?)안 되는 달러를 자국산 제품의 해외 가격 경쟁력을 확보하는 데 적절히 활용했던 것이다.

이처럼 금융공학은 단순히 금융시장에서 만들어내는 이익 관점뿐만 아니라, 실물경제 전반에 미치는 영향을 종합적으로 고려해야 하는 만큼, 파생상품 가격을 계산해내는 콴트들에게만 맡겨둘 분야는 아니다.

2013년 말레이시아와  15조원 , 아랍에미레이트, 인도네시아와 각각 5조 8,000억원, 10조 7,000억원의 통화스왑 체결

통화스왑 가치는 어떻게 계산되나

양국 간의 이자율이 다르고, 환 변동성이 다르기 때문에 이러한 변수들을 적절히 가격에 반영해야 했다. 양국의 이자율, 환율, 환변동성이 통화스왑의 가치를 평가하는 외생변수이다.

통화스왑은 거래 개시와 함께 원금이 교환되고 거래기간 동안은 이자만 교환되다가, 거래 종료와 함께 다시 원금의 재교환이 이루어지는 방식이 일반적이다.

예) 한국 기업의 미국 자회사가 100만 달러가 필요해 미국 달러화에 대한 스왑거래를 체결한 가상 사례.

1) 거래 개시와 함께 원금의 교환(환율 1,200원 가정)

       -12억 원                      + 100만 달러

즉 원화 12억 원어치 채권을 발행하고 100만 달러어치 채권을 구입한 것과 같은 형태가 된다.

2) 거래기간 동안 이자의 교환(연간 기준)

       +1억 2,000만원            -5만 달러

   거래 이자율이 한국은 10%, 미국은 5%라 가정할 때, 한국회사는 매년 5만 달러씩 이자를 지불하고, 1억 2,000만 원씩 이자를 받는다.

3) 거래 종료와 함께 이자와 원금의 교환

  + 13억 2,000만 원            -105만 달러

거래 종료와 함께 한국 회사는 기 발행한 채권의 액면가 12억원과 연이자 1억 2,000만 원을 지급받고, 상대방이 발행한 미국 채권 100만 달러와 이자 5만 달러를 지불하게 된다.

조금 난이도가 있는 통화스왑 거래

회사 A,B가 다음과 같은 조건으로 자금을 조달할 수 있다고 가정하자. 회사 A는 스털링(Sterling)을 원하고 회사 B는 달러를 필요로 할 때, 통화스왑을 통해 각 회사가 얻을 수 있는 이익을 구해보자.

A는 모든 자금조달에 있어서 절대우위에 있고, B는 스털링에 대해 비교우위(Comparative Advantage)에 있다. 따라서 회사A는 달러를 대출받고 B는 스털링을 대출받은 후 통화스왑 거래를 하면, 순수차익(Net Differential)이 1%이므로 각각 0.5%씩 이득을 나누어 가질 수 있다.

A는 8%의 달러를 외부 은행에 지급하고, 8% 달러를 B로부터 받은 후 9.5% 스털링을 B에 지급하므로, 순이자 지급액은 9.5% 스털링이 된다. 즉 스왑거래를 하지 않고 스털링 자금을 조달할 때 드는 10% 이자보다 0.5% 낮은 이자 비용으로 자금을 조달할 수 있게 된다.

한편 B는 스털링의 순지출이 1.5%(11%-9.5%)이고 달러 순지출이 8%이므로 총지출은 역시 9.5%다. 따라서 스왑거래 없이 달러를 조달할 때 드는 비용 10%보다 0.5% 낮은 이자 비용으로 자금을 조달할 수 있게 된다.

한편 B는 스털링의 순지출이 1.5%(11%-9.5%)이고 달러 순지출이 8%이므로 총지출은 역시 9.5%다. 따라서 스왑거래 없이 달러를 조달할 때 드는 비용 10%보다 0.5% 낮은 이자 비용으로 자금을 조달할 수 있게 된다.

이자율스왑

2007년 상반기에 금리가 오름세를 보이던 상황에서, 변동금리로 주택담보대출을 받은 사람들에게 단비와 같은 금융상품이 출시되었다. 3월 29일 국민은행이 은행권 담보대출상품 최초로 ‘금리스왑’과 ‘아파트담보대출’을 결합한 복합상품인 ‘KB스왑연계 아파트 담보대출’을 내놓은 것이다.

이 상품은 아파트(주상복합아파트 포함)를 구입하거나 담보제공시 3년 이내 일시상환 또는 30년 이내 원금균등분할상환 방식의 대출을 받는 고객이 별도의 이자율스왑 계약을 체결하면, 3개월 주기 변동금리 아파트담보대출에 적용되는 시장금리 대신 스왑금리를 적용함으로써 스왑 계약 기간 동안 시장금리 변동에 관계없이 대출적용금리를 고정시킬 수 있는 것이 특징이었다. 특히 스왑금리는 일반적인 고정금리보다 0.2% 정도 금리가 낮기 때문에 금리가 계속해서 오를 것을 우려하던 변동금리 대출 소비자들로서는 한 번쯤 고려해볼 만한 매력적인 상품이었다.

세월이 흘러 2013년 상반기가 되자, 지속된 글로벌 금융위기로 금리는 하락세를 거듭하며 기존 스왑연계 대출상품으로 고정금리를 지불하던 고객들은 변동금리로 갈아타기 위해 중도해지 수수료 외에 평균 1.2%에 달하는 스왑거래 청산비용을 지불해야 할 처지에 놓였다. 이에 금융당국은 대출을 갈아탈 때 이자율스왑에 도사린 불리한 조건에 대한 설명 부족과 청산비용이 지나치게 높은 데서 민원이 야기되고 있다고 분석했다. 일단 은행들이 일반대출과의 차이점, 중도상환 시 입게 되는 불이익 등을 자세하게 설명하도록 하고 취급실태 점검을 강화하도록 했으나, 이것만으로 부족하다는 판단에 소비자들에게 주의를 요하는 소비자 경보를  발령했다.

이자율스왑은 그 자체로서는 고정금리를 원하는 고객과 변동금리를 원하는 고객 간 거래를 성사시켜 쌍방 모두가 이익이 되게끔 하는 긍정적 면이 있음에도 불구하고, 정확한 정보 전달의 문제로 인해 문제 발생의 소지가 있는 것 또한 사실이다.

스왑거래가 처음 이루어질 때는 공정가격으로 이자율이 결정되기 때문에 어느 쪽도 더 많은 이익을 얻을 수 없지만, 시장의 이자율은 매순간 변하기 때문에 스왑거래가 성사 되자마자 쌍방은 시장 이자율의 방향에 따라 이익 또는 손실을 보는 상황에 처하게 된다. 즉 이자율 리스크에 노출되는 것이다.

어떤 것을 선택하는지에 따라 노출되는 리스크가 다를 뿐이다. 은행 지점에서 최첨단 파생상품을 이용한 상품이라고 추천하더라도 리스크가 줄었다고 생각하지 말자. 다만 리스크의 형태가 달라졌을 뿐이다.

이자율스왑(Interest Rate Swap)은 ‘투자자 A는 B에게 고정금리를 지불하고, 투자자B는 투자자 A에게 변동금리를 지불하는 식의 금융거래’다. 이렇게 변동금리와 고정금리를 서로 맞바꾸게 되면 다음 설명에서 볼 수 있듯이 비교우위와 이자율 리스크 관리라는 두 마리 토끼를 다 잡을 수 있게 된다.

만일 한 은행이 변동금리로 아파트 담보대출을 내줬는데 이자율 리스크가 우려되어 고정금리로 변환코자 하고, 다른 한 은행은 단기자금 운영 측면에서 변동금리를 선호한다고 하자. 이때 두 당사자들은 시장의 공정가격을 산출해 스왑거래를 체결할 수 있다. 이것이 이자율스왑이 갖고 있는 이자율 리스크 관리의 속성이다.

이자율스왑의 비교우위 속성과 이자율 리스크 관리 속성을 합한 예를 보자. 회사A는 신용상태가 좋아서 고정금리로는 7%, 변동금리로는 리보+50bp¹⁷⁾로 대출받을 수 있고, 회사 B는 회사A보다 신용이 좋지 않아서 고정금리로는 8.8%, 변동금리로는 리보+150bp로 대출받아야 한다고 가정하자.

고정금리든 변동금리든 간에 회사 A가 항상 유리하게 대출받을 수 있다. 즉 회사 A는 대출금리 측면에서 절대우위에 있다. 여기서 절대우위란 어떠한 경우에도 회사B보다 유리하게 대출받을 수 있다는 뜻이다. 회사B는 반대로 절대열세에 있지만, 만일 회사A를 상대로 이자율스왑 거래를 체결하면 비교우위를 갖게 된다. 비교우위란 비록 절대적으로 상대방보다 모두 불리한 조건이지만 거래를 통해 양방 모두에게 이득을 줄 수 있는 상태를 뜻한다. 왜 그런지 알아보자.

회사A와 회사B의 고정금리 차이는 180bp(1.80%)인 반면에 변동금리 차이는 100bp(1.0%)에 불과하다. 즉 회사 A는 고정금리로 대출받을 때 회사 B에 비해 훨씬 유리한 조건의 대출을 받는 셈이되고, 회사B는 변동금리로 대출받아야 상대적으로 덜 불리한 조건으로 자금을 운용할 수 있다. 만일 이때 회사A가 변동금리를 원하고, 회사B가 고정금리를 원한다면, 쌍방 간에 이익이 되는 스왑거래가 이루어지게 된다.

실제로는 개별 회사들이 서로 상대방의 정보를 모르기 때문에 이런 스왑거래가 직접 이루어지기 어렵다. 그래서 은행과 같은 중개회사가 개입하게 된다. 즉 각 개별 회사들이 서로 자신의 니즈만을 중개회사에 말해주면, 중개회사는 이런 개별 회사들의 니즈를 모아서 스왑거래를 통해 서로에게 알맞은 ‘맞춤형 금융상품’을 성사시켜주는 것이다. 다음은 위의 두 회사가 어떻게 중개회사를 통해 스왑거래를 체결하는지 보여준다.

1)회사A는 변동금리를 원함에도 불구하고 상대적으로 유리한 고정금리를 이용한다. - 이자율 7%

2)회사B는 고정금리를 원함에도 불구하고 상대적으로 유리한 변동금리를 택한다. - 이자율 리보+        150bp(1.5%)

3) 중개회사(대체로 은행,증권사)를 통해 스왑거래를 체결한다.

4) 회사 A는 중개회사에 리보(LIBOR)금리를 지급하고 고정금리 6.8%를 받는 계약을 체결한다. 위 그래프에서 화살표는 금리를 지불하는 방향을 의미한다.

5) 회사 B는 중개회사에 7%의 고정금리를 지불하고, 리보금리를 지급받는 계약을 체결한다.

6) 회사 A의 대출이자 : 7%+리보를 지불하고 6.8%를 받았으므로 7%+리보-6.8%=리보+0.2%(스왑거래가 없을 경우의 변동금리(리보+0.5%)보다 0.3% 저렴)

7) 회사 B의 대출이자 : 리보 +1.5%와 7%를 지불하고 리보를 받았으므로 리보 +1.5%+7%-리보=8.5%(스왑거래를 안 했을 경우의 고정금리 8.8%보다 0.3% 저렴)

8) 중개회사 이익 : 리보금리를 A로부터 받고 B에게 지급, B 로부터 7%를 받고 A에게 고정금리 6.8%를 지불했으므로 순이익 0.2%

즉 스왑거래를 통해 거래 당사자 및 은행까지 모두 이익을 보게 된다. 그렇다면 도대체 어떻게 이런 로직이 가능할까? 다음은 숫자가 도출되는 방법을 보여준다.

우선 외부 대출기관에 회사 A가  7%의 고정이자를 지불하고, 회사 B가 리보+1.5%를 지불하는 것은 알려져 있다. 변동금리를 원하는 회사A는 중개회사와 리보금리(변동금리)를 지불하고 이에 상당하는 고정금리 를 받는 계약을 체결해 결국 전체적으로 변동금리를 지불하는 셈이 된다. 마찬가지 논리로 회사B는 고정금리 를 지불하는 셈이 된다. 아래는 와 를 구하는 방법이다.

고정금리 차이(1.8%)와 변동금리 차이(1%)의 차이인 0.8%가 스왑거래를 통해 서로가 얻을 수 있는 전체이익이 된다.

전체이익 = 1.8% -1.0% =0.8%

그런데 정보의 부족, 채무 불이행 위험 등을 비롯한 여러 가지 제약이 많기 때문에, 개별 당사자들 간에는 직접 스왑거래를 체결하는 것이 상당히 어렵다. 따라서 중개회사를 이용하게 되는데 이에 따른 수수료를 지불해야 한다. 중개회사가 0.2%의 수수료를 부과한다면, 남은 0.6%가 회사 A,B에 돌아가는 스왑거래의 이득이며, 개별회사는 그 절반인 0.3%씩 돌아가게 된다.

다시 위의 표로 돌아가서, 논리를 수식으로 만들어보면 다음과 같다.

1)값 구하기

지출: -7% - 리보 (지출은 마이너스 표시)

수입:

지출 + 수입 = - 회사A의 변동금리(리보+0.5%)+ 이익(0.3%)-7% - 리보 +

            = -리보 -0.5% +0.3%

2) 값 구하기

지출 :

수입 : 리보

지출 + 수입 = -회사A의 고정금리(8.8%) + 이익(0.3%) - -리보-1.5% + 리보 =8.8% +0.3%

위 수식을 이용하면 무수히 많은 기업들의 변동금리와 고정금리를 입력해 놓고 그들간의 비교우위를 자동으로 계산할 수 있어서, 은행 등 중개회사는 자금이 필요한 개별회사의 특성에 맞는 이자율스왑 상품을 구성해 제공할 수 있다.